Введение
Теория вероятности
В статистике и теории вероятности точечный процесс или точечное поле — это набор математических точек, случайно расположенных на математическом пространстве, таком как вещественная прямая или евклидово пространство. Точечные процессы могут использоваться для анализа пространственных данных, представляющих интерес в таких разнообразных областях, как лесное хозяйство, экология растений, эпидемиология, география, сейсмология, материаловедение, астрономия, телекоммуникации, вычислительная нейробиология, экономика и другие. Существуют различные математические интерпретации точечного процесса, например, случайная мера подсчёта или случайное множество. Некоторые авторы рассматривают точечный процесс и стохастический процесс как два различных объекта, причём точечный процесс является случайным объектом, возникающим из или связанным со стохастическим процессом, хотя отмечается, что различие между точечными и стохастическими процессами не всегда чёткое. Он соответствует множеству индексов в терминологии стохастических процессов, на котором процесс определён, например, вещественная прямая или n-мерное евклидово пространство. Другие стохастические процессы, такие как процессы обновления и подсчёта, изучаются в теории точечных процессов. Точечные процессы на вещественной прямой представляют собой важный частный случай, особенно удобный для изучения, поскольку точки упорядочены естественным образом, и весь точечный процесс может быть полностью описан (случайными) интервалами между точками. Эти точечные процессы часто используются в качестве моделей случайных событий во времени, таких как прибытие клиентов в очередь (теория массового обслуживания), импульсов в нейроне (вычислительная нейробиология), частиц в счётчике Гейгера, местоположение радиостанций в телекоммуникационной сети или поисковые запросы в сети Интернет.
In statistics and probability theory, a point process or point field is a collection of mathematical points randomly located on a mathematical space such as the real line or Euclidean space. Point processes can be used for spatial data analysis, which is of interest in such diverse disciplines as forestry, plant ecology, epidemiology, geography, seismology, materials science, astronomy, telecommunications, computational neuroscience, economics and others. There are different mathematical interpretations of a point process, such as a random counting measure or a random set. Some authors regard a point process and stochastic process as two different objects such that a point process is a random object that arises from or is associated with a stochastic process, though it has been remarked that the difference between point processes and stochastic processes is not clear. which corresponds to the index set in stochastic process terminology. on which it is defined, such as the real line or dimensional Euclidean space. Other stochastic processes such as renewal and counting processes are studied in the theory of point processes. Point processes on the real line form an important special case that is particularly amenable to study, because the points are ordered in a natural way, and the whole point process can be described completely by the (random) intervals between the points. These point processes are frequently used as models for random events in time, such as the arrival of customers in a queue (queueing theory), of impulses in a neuron (computational neuroscience), particles in a Geiger counter, location of radio stations in a telecommunication network or of searches on the world wide web.
Общая теория точечного процесса
В математике точечный процесс — это случайный элемент, значения которого представляют собой «точечные конфигурации» на множестве S. Хотя в строгом математическом определении точечная конфигурация задается как локально конечная счетная мера, для более практических целей достаточно рассматривать точечную конфигурацию как счетное подмножество S, не имеющее предельных точек.
Меры ожидания
Ожидаемая мера Eξ (также известная как средняя мера) точечного процесса ξ — это мера на S, которая каждому борелевскому подмножеству B из S сопоставляет ожидаемое число точек ξ в B. То есть,
Процессы в определяющих точках
Важным классом точечных процессов, находящих применение в физике, теории случайных матриц и комбинаторике, является класс детерминантных точечных процессов.
Геометрические процессы
Если дана последовательность неотрицательных случайных величин, и они независимы, а функция распределения задается формулой для , где – положительная константа, то эта последовательность называется геометрическим процессом (GP). Геометрический процесс имеет несколько обобщений, включая процесс α-серии и двумерный геометрический процесс.
Точечные процессы на реальной полулинии
Исторически первые изучаемые точечные процессы имели в качестве пространства состояний полупрямую действительных чисел R+ = [0,∞), которая в данном контексте обычно интерпретируется как время. Эти исследования были мотивированы стремлением моделировать системы телекоммуникаций, в которых точки представляли события во времени, например, звонки на телефонную станцию. Точечные процессы на R+ обычно описываются путем задания последовательности их (случайных) интервалов между событиями (T1, T2, ...), из которой можно получить фактическую последовательность (X1, X2, ...) моментов времени событий. Если интервалы между событиями независимы и одинаково распределены, то полученный точечный процесс называется процессом восстановления.
If the inter event times are independent and identically distributed, the point process obtained is called a renewal process.