Введение

Стохастическое дифференциальное уравнение
В физике уравнение Лангевина (названное в честь Поля Лангевина) — это стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию системы под воздействием комбинации детерминированных и флуктуирующих ("случайных") сил. Зависимые переменные в уравнении Лангевина обычно представляют собой коллективные (макроскопические) величины, изменяющиеся достаточно медленно по сравнению с другими (микроскопическими) переменными системы. Быстрые (микроскопические) переменные обуславливают стохастическую природу уравнения Лангевина. Одним из применений является описание броуновского движения, моделирующего флуктуирующее движение малой частицы в жидкости.

Математические аспекты

Строго коррелированная флуктуирующая сила не является функцией в обычном математическом смысле, и даже производная не определена в этом пределе. Эта проблема исчезает, когда уравнение Лангевина записывается в интегральной форме. Следовательно, дифференциальная форма является лишь сокращением для его временного интеграла. Общий математический термин для уравнений этого типа – "стохастическое дифференциальное уравнение". Другая математическая неоднозначность возникает для уравнений Лангевина с мультипликативным шумом, который относится к членам шума, умножаемым на некоторую неконстантную функцию зависимых переменных, например. Если мультипликативный шум является внутренним для системы, его определение неоднозначно, поскольку его можно интерпретировать как по схеме Стратоновича, так и по схеме Ито (см. исчисление Ито). Тем не менее, физические наблюдаемые не зависят от выбранной интерпретации, при условии, что она применяется последовательно при манипулировании уравнением. Это необходимо, поскольку символические правила дифференциального и интегрального исчисления различаются в зависимости от схемы интерпретации. Если шум внешний по отношению к системе, то правильной интерпретацией является интерпретация Стратоновича.

Критическая динамика

Динамика параметра порядка фазового перехода второго рода замедляется вблизи критической точки и может быть описана уравнением Лангевена. В этом мы использовали свойство, что переменные и становятся некоррелированными при больших временных интервалах. Кроме того, значение установлено равным , чтобы оно удовлетворяло теореме об равнораспределении. Если система изначально находится в тепловом равновесии при , то для всех , что означает, что система остается в равновесии в любой момент времени. Скорость броуновской частицы можно проинтегрировать, чтобы получить ее траекторию. Если она изначально находится в начале координат с вероятностью 1, то результат будет следующим:

Следовательно, среднее смещение асимптотически стремится к по мере релаксации системы. Среднеквадратичное смещение можно определить аналогичным образом:

Это выражение подразумевает, что , что указывает на то, что движение броуновских частиц в масштабах времени, значительно меньших времени релаксации системы , является (приблизительно) инвариантным относительно обращения времени. С другой стороны, , что указывает на необратимый, диссипативный процесс.

Турбулентная кинетическая энергия в атмосферном поверхностном слое

Функция плотности вероятности p(k) турбулентной кинетической энергии k исследуется для диабатических потоков в поверхностном слое атмосферы (ASL). В упомянутой работе авторы показали, что при приближении компонент скорости к гауссовскому распределению и почти независимых квадратах их амплитуд, результирующая p(k) имеет гамма-распределение. Поэтому предлагается и тестируется нелинейное уравнение Лангевина, сохраняющее гамма-распределение для p(k), но допускающее линейную релаксацию k к его среднему значению, с использованием нескольких наборов данных ASL.

Эквивалентные методы

В некоторых ситуациях в первую очередь интересует усредненное по шуму поведение уравнения Лангевина, а не решение для отдельных реализаций шума. В этом разделе описываются методы получения такого усредненного поведения, отличные от, но эквивалентные стохастическому исчислению, лежащему в основе уравнения Лангевина.

Уравнение Фокера и Планка

Уравнение Фокера — Планка — это детерминированное уравнение для временной эволюции плотности вероятности стохастических переменных. Уравнение Фокера — Планка, соответствующее общему уравнению Лангевена, описанному в данной статье, имеет следующий вид:

Равновесное распределение является стационарным решением.