Введение

Стохастический процесс, обобщающий броуновское движение.

В математике процесс Винера — это стохастический процесс с непрерывным временем и действительными значениями, названный в честь американского математика Норберта Винера за его исследования математических свойств одномерного броуновского движения. Его часто также называют броуновским движением из-за его исторической связи с одноименным физическим процессом, первоначально наблюдавшимся шотландским ботаником Робертом Брауном. Это один из наиболее известных процессов Леви (càdlàg стохастические процессы со стационарными независимыми приращениями) и часто встречается в чистой и прикладной математике, экономике, количественных финансах, эволюционной биологии и физике. Процесс Винера играет важную роль как в чистой, так и в прикладной математике. В чистой математике процесс Винера послужил основой для изучения непрерывных мартингалов. Это ключевой процесс, посредством которого можно описать более сложные стохастические процессы. Таким образом, он играет важную роль в стохастическом исчислении, диффузионных процессах и даже теории потенциала. Он является движущим процессом эволюции Шрамма — Лоэнера. В прикладной математике процесс Винера используется для представления интеграла гауссовского процесса белого шума и поэтому полезен в качестве модели шума в электротехнике (см. брауновский шум), инструментальных ошибок в теории фильтрации и возмущений в теории управления. Процесс Винера находит применение во всех математических науках. В физике он используется для изучения броуновского движения, диффузии мельчайших частиц, взвешенных в жидкости, и других типов диффузии посредством уравнений Фоккера — Планка и Ланжевена. Он также лежит в основе строгой интегральной формулировки квантовой механики (по формуле Фейнмана — Кака решение уравнения Шрёдингера может быть представлено в терминах процесса Винера) и изучения вечной инфляции в физической космологии. Он также играет важную роль в математической теории финансов, в частности в модели ценообразования опционов Блэка — Шоулза.

Процесс Винера как предел случайной ходьбы

Пусть это независимые одинаково распределённые случайные величины со средним значением 0 и дисперсией 1. Для каждого n определите непрерывный стохастический процесс времени.

Это случайная ступенчатая функция. Инкременты независимы, поскольку случайные величины независимы. При больших n, приближается к распределению нормального закона в силу центральной предельной теоремы. Теорема Донскера утверждает, что при , приближается к процессу Винера, что объясняет широкую распространённость броуновского движения.

Браунская масштабировка

Для любого c > 0 процесс является другим процессом Винера.

Временная перемена

Процесс при 0 ≤ t ≤ 1 имеет такое же распределение, как и Wt при 0 ≤ t ≤ 1.

Инверсия времени

Этот процесс является ещё одним процессом Винера.

Конформная инвариантность в двух измерениях

Пусть $W = (W_1, W_2)$ — двумерный процесс Винера, рассматриваемый как комплекснозначный процесс с $W = X + iY$, где $X$ и $Y$ — независимые одномерные процессы Винера. Пусть $D$ — открытое множество, содержащее 0, и $\tau$ — ассоциированное время Маркова:

Если $f$ — голоморфная функция, не являющаяся постоянной, такая, что $f(0) = 0$, то $f(W)$ является процессом Винера, время которого изменено в $D$. Более точно, процесс $f(W)$ является винеровским в $D$ с временем Маркова $\tau$, где

Некоторые свойства путей выборки

Множество всех функций w, обладающих этими свойствами, имеет полную меру Винера. То есть, траектория (функция выборки) процесса Винера почти наверняка обладает всеми этими свойствами.

Качественные свойства

Для каждого ε > 0, функция w принимает как (строго) положительные, так и (строго) отрицательные значения на (0, ε). Функция w непрерывна везде, но нигде не дифференцируема (как функция Вейерштрасса). Для любого , функция w почти наверняка не является Holder-непрерывной, а почти наверняка является Holder-непрерывной. Точки локального максимума функции w образуют плотное счетное множество; максимальные значения попарно различны; каждый локальный максимум является острым в следующем смысле: если w имеет локальный максимум в точке t, то . То же самое верно для локальных минимумов. Функция w не имеет точек локального возрастания, то есть, не существует t > 0, удовлетворяющего следующему для некоторого ε в (0, t): во-первых, w(s) ≤ w(t) для всех s из интервала (t − ε, t), и во-вторых, w(s) ≥ w(t) для всех s из интервала (t, t + ε). (Локальное возрастание является более слабым условием, чем то, что w возрастает на интервале (t − ε, t + ε).) То же самое верно для локального убывания. Функция w имеет неограниченную вариацию на каждом интервале. Квадратичная вариация w на отрезке [0,t] равна t. Нули функции w образуют нигде не плотное совершенное множество меры Лебега 0 и размерности Хаусдорфа 1/2 (следовательно, несчетное).

Теорема удвоения измерений

Теоремы об удвоении размерности утверждают, что размерность Хаусдорфа множества при броуновском движении почти наверное удваивается.

Местное время

Изображение меры Лебега на [0, t] под отображением w (прямое изображение меры) имеет плотность Lt. Таким образом, это справедливо для широкого класса функций f (а именно: всех непрерывных функций; всех локально интегрируемых функций; всех неотрицательных измеримых функций). Плотность Lt является (точнее, может и будет выбрана) непрерывной. Число Lt(x) называется локальным временем функции w в точке x на [0, t]. Оно строго положительно для всех x из интервала (a, b), где a и b – наименьшее и наибольшее значения w на [0, t] соответственно. (Для x, лежащих вне этого интервала, локальное время очевидно равно нулю.) Рассматриваемое как функция двух переменных x и t, локальное время остаётся непрерывным. Рассматриваемое как функция t при фиксированном x, локальное время является сингулярной функцией, соответствующей неатомной мере на множестве нулей w. Эти свойства непрерывности достаточно нетривиальны. Следует отметить, что локальное время также может быть определено (как плотность прямого изображения меры) для гладкой функции. Однако в этом случае плотность оказывается разрывной, если только данная функция не монотонна. Иными словами, существует противоречие между хорошим поведением функции и хорошим поведением её локального времени. В этом смысле непрерывность локального времени винеровского процесса является ещё одним проявлением негладкости траектории.

Скорость информирования

Скорость информации процесса Винера относительно расстояния квадрата ошибки, то есть его квадратичной функции искажения, задается выражением:

Следовательно, невозможно закодировать процесс Винера с помощью бинарного кода, использующего менее чем битов, и восстановить его с ожидаемой средней квадратичной ошибкой, меньшей чем . С другой стороны, для любого , существует достаточно большое и бинарный код, содержащий не более чем различных элементов, такой что ожидаемая средняя квадратичная ошибка при восстановлении процесса Винера из этого кода не превышает . Во многих случаях невозможно закодировать процесс Винера без предварительной дискретизации. Когда процесс Винера дискретизируется с интервалами , перед применением бинарного кода для представления этих дискретных значений, оптимальный компромисс между скоростью кода и ожидаемой средней квадратичной ошибкой (при оценке непрерывного процесса Винера) описывается параметрическим представлением:

где и . В частности, представляет собой среднюю квадратичную ошибку, связанную исключительно с операцией дискретизации (без кодирования).

Мартингалы брауновские

Пусть A — событие, связанное с процессом Винера (более формально: множество, измеримое относительно меры Винера в пространстве функций), а Xt — условная вероятность события A при заданном процессе Винера на временном интервале [0, t] (более формально: мера Винера множества траекторий, конкатенация которых с заданной частичной траекторией на [0, t] принадлежит A). Тогда процесс Xt является непрерывным мартингалом. Его свойство мартингала следует непосредственно из определений, но его непрерывность — весьма специфический факт, частный случай общей теоремы, утверждающей, что все брауновские мартингалы непрерывны. Брауновский мартингал, по определению, — это мартингал, адаптированный к брауновской фильтрации, а брауновская фильтрация, по определению, — это фильтрация, порожденная процессом Винера.

Изменение меры

Широкий класс непрерывных полумартингалей (в частности, диффузионных процессов) связан с процессом Винера посредством комбинации изменения времени и смены меры. Используя этот факт, качественные свойства, сформулированные выше для процесса Винера, могут быть обобщены на широкий класс непрерывных полумартингалей.

Комплексный процесс Винера

Комплексный процесс Винера может быть определен как комплекснозначный случайный процесс вида, где и – независимые процессы Винера (с вещественными значениями).

Самоподобство

Брауновское масштабирование, обращение времени, инверсия времени: то же самое, что и в случае с вещественными значениями. Инвариантность относительно вращений: для любого комплексного числа z, такого что |z| = 1, процесс является другим комплекснозначным процессом Винера.

Брауновский лист

Брауновский лист — это мультипараметрическое обобщение. Определение различается у разных авторов: одни определяют брауновский лист как имеющий конкретно двухмерный временной параметр, а другие — для общего числа измерений.