Введение

Частичное дифференциальное уравнение

В статистической механике и теории информации уравнение Фоккера — Планка является частичным дифференциальным уравнением, описывающим эволюцию во времени функции плотности вероятности скорости частицы под воздействием сил сопротивления и случайных сил, как, например, в броуновском движении. Уравнение может быть обобщено и на другие измеряемые величины. Уравнение Фоккера — Планка имеет множество применений в теории информации, теории графов, науке о данных, финансах, экономике и т. д. Оно названо в честь Адриаана Фоккера и Макса Планка, которые описали его в 1914 и 1917 годах. Оно также известно как уравнение Колмогорова, в честь Андрея Колмогорова, который независимо открыл его в 1931 году. Применительно к распределениям координат частиц, оно лучше известно как уравнение Смолуховского (в честь Мариана Смолуховского), и в этом контексте оно эквивалентно уравнению конвекции-диффузии. Применительно к распределениям координат и импульса частиц, оно известно как уравнение Клейна — Крамерса. Случай с нулевой диффузией соответствует уравнению неразрывности. Уравнение Фоккера — Планка выводится из главного уравнения посредством расширения Крамерса — Мояля. Первое непротиворечивое микроскопическое выведение уравнения Фоккера — Планка в единой схеме классической и квантовой механики было выполнено Николаем Боголюбовым и Николаем Крыловым.

Распределение Болцмана при термодинамическом равновесии

Сверхуглубленное уравнение Лангевена приводит к распределению Больцмана, которое является распределением равновесия. Если предположить, что потенциал возрастает достаточно быстро (то есть, потенциальная яма достаточно глубока, чтобы удержать частицу), то распределение Больцмана будет единственным состоянием равновесия.

Физика плазмы

В физике плазмы функция распределения для вида частиц , , заменяет функцию плотности вероятности. Соответствующее уравнение Больцмана имеет вид:

где третий член включает ускорение частиц под действием силы Лоренца, а член Фоккера — Планка в правой части описывает эффекты столкновений частиц. Величины и представляют собой среднее изменение скорости, которое частица типа испытывает в результате столкновений со всеми другими видами частиц за единицу времени. Выражения для этих величин приведены в другом месте. Если столкновения не учитываются, уравнение Больцмана упрощается до уравнения Власова.

Расчетные соображения

Брауновское движение описывается уравнением Лангевина, которое можно решить для различных стохастических воздействий, усредняя полученные результаты (канонический ансамбль в молекулярной динамике). Однако, вместо этого вычислительно сложного подхода, можно использовать уравнение Фоккера — Планка и рассмотреть вероятность того, что частица имеет скорость в заданном интервале, если в начальный момент времени (t=0) её скорость равна определенному значению.

Пример 1-D линейного потенциала

Брауновская динамика в одном измерении проста.

Симуляция

Симуляция справа была выполнена с использованием моделирования броуновской динамики. Начиная с уравнения Лангевина для системы,

где – член трения, – флуктуирующая сила, действующая на частицу, а – амплитуда флуктуации. В состоянии равновесия сила трения значительно превышает силу инерции, поэтому уравнение Лангевина принимает вид,

Для броуновской динамической симуляции флуктуирующая сила предполагается гауссовской, при этом амплитуда зависит от температуры системы . Переписывая уравнение Лангевина,

где – соотношение Эйнштейна. Интегрирование этого уравнения выполнялось с использованием метода Эйлера — Маруямы для численного приближения траектории броуновской частицы.

Решение

Будучи частным дифференциальным уравнением, уравнение Фоккера — Планка может быть решено аналитически только в специальных случаях. Формальная аналогия уравнения Фоккера — Планка с уравнением Шрёдингера позволяет использовать передовые операторные методы, известные из квантовой механики, для его решения в ряде случаев. Кроме того, в случае сильно затухающей динамики, когда уравнение Фоккера — Планка содержит вторые частные производные по всем пространственным переменным, уравнение можно записать в форме уравнения главного типа, которое легко решается численно. Во многих приложениях интересует только стационарное распределение вероятностей, которое можно найти из. Вычисление средних времён первого прохождения и вероятностей расщепления может быть сведено к решению обыкновенного дифференциального уравнения, тесно связанного с уравнением Фоккера — Планка.

Особые случаи с известным решением и инверсией

В математических финансах, при моделировании улыбки волатильности опционов с использованием локальной волатильности, возникает задача вывода коэффициента диффузии, согласующегося с плотностью вероятности, полученной из рыночных котировок опционов. Таким образом, задача представляет собой обращение уравнения Фоккера — Планка: имея плотность f(x,t) базового актива опциона X, выведенную из опционного рынка, необходимо найти локальную волатильность, согласующуюся с f. Это обратная задача, которая в общем случае была решена Дюпиром (1994, 1997) непараметрическим методом. Бриго и Меркурио (2002, 2003) предлагают параметрическое решение через конкретную локальную волатильность, согласующуюся с решением уравнения Фоккера — Планка, заданным смешанной моделью. Дополнительная информация доступна в работах Fengler (2008), Gatheral (2008) и Musiela и Rutkowski (2008).