Введение
Аксиоматическое определение класса L-функций. В математике класс Селберга представляет собой аксиоматическое определение класса L-функций. Элементами класса являются ряды Дирихле, удовлетворяющие четырем аксиомам, которые, по-видимому, отражают основные свойства, выполняемые большинством функций, обычно называемых L-функциями или дзета-функциями. Хотя точная природа класса остаётся гипотетической, предполагается, что определение класса позволит классифицировать его элементы и прояснить его свойства, включая понимание их связи с автоморфными формами и гипотезой Римана. Класс был определён Атле Сельбергом, который предпочитал не использовать слово "аксиома", которое впоследствии было принято другими авторами.
In mathematics, the Selberg class is an axiomatic definition of a class of L functions. The members of the class are Dirichlet series which obey four axioms that seem to capture the essential properties satisfied by most functions that are commonly called L functions or zeta functions. Although the exact nature of the class is conjectural, the hope is that the definition of the class will lead to a classification of its contents and an elucidation of its properties, including insight into their relationship to automorphic forms and the Riemann hypothesis. The class was defined by Atle Selberg in , who preferred not to use the word "axiom" that later authors have employed.
Комментарии к определению
Условие, что вещественная часть μi неотрицательна, связано с тем, что существуют известные L-функции, которые не удовлетворяют гипотезе Римана, когда μi отрицательна. В частности, существуют формы Маасса, связанные с исключительными собственными значениями, для которых выполняется гипотеза Рамануджана — Петерсена, и имеющие функциональное уравнение, но не удовлетворяющие гипотезе Римана. Условие θ < 1/2 важно, поскольку случай θ = 1 включает в себя объекты, нули которых не лежат на критической прямой. Без этого условия возникают объекты, нарушающие гипотезу Римана. Это следствие из пункта 4, что an мультипликативны и что…
Примеры
Прототипическим примером элемента в S является дзета-функция Римана. Другой пример – L-функция модульного дискриминанта Δ, где и τ(n) – функция Рамануджана тау. Все известные примеры являются автоморфными L-функциями, а обратные величины Fp(s) – это многочлены от p−s ограниченной степени. Наилучшие результаты относительно структуры класса Сельберга получены Качжоровским и Перелли, которые показали, что функции Дирихле L (включая дзета-функцию Римана) являются единственными примерами со степенью меньше 2.
where and τ(n) is the Ramanujan tau function. All known examples are automorphic L functions, and the reciprocals of Fp(s) are polynomials in p−s of bounded degree. The best results on the structure of the Selberg class are due to Kaczorowski and Perelli, who show that the Dirichlet L functions (including the Riemann zeta function) are the only examples with degree less than 2.
Последствия гипотез
Предположения 1 и 2 подразумевают, что если функция F имеет полюс порядка m при s = 1, то F(s)/ζ(s)^m является целой. В частности, они подразумевают гипотезу Дедекинда. М. Рам Мурти показал, что предположения 1 и 2 подразумевают гипотезу Артина. Фактически, Мурти показал, что функции L Артина, соответствующие неприводимым представлениям группы Галуа разрешимого расширения рациональных чисел, являются автоморфными, как и предсказывается гипотезами Ленглендса. Функции в S также удовлетворяют аналогу теоремы о простых числах: F(s) не имеет нулей на прямой Re(s) = 1. Как упоминалось выше, предположения 1 и 2 подразумевают единственность разложения функций в S на примитивные функции. Другим следствием является то, что примитивность F эквивалентна nF = 1.