Введение

В электротехнике теорема Миллмана (или теорема о параллельном генераторе) — это метод упрощения расчёта электрической цепи. В частности, теорема Миллмана используется для вычисления напряжения на выводах цепи, состоящей только из параллельно соединенных ветвей. Она названа в честь Джейкоба Миллмана, который доказал эту теорему.

Пояснение

Пусть – напряжения генераторов. Пусть – сопротивления на ветвях с генераторами напряжения. Тогда Миллман утверждает, что напряжение на концах цепи определяется следующим образом:

То есть, это сумма токов короткого замыкания в каждой ветви, делённая на сумму проводимостей в каждой ветви. Это можно доказать, рассматривая схему как единый суперузел. Затем, согласно законам Ома и Кирхгофа, напряжение между концами цепи равно общему току, входящему в суперузел, делённому на общую эквивалентную проводимость суперузла. Общий ток является суммой токов в каждой ветви. Общая эквивалентная проводимость суперузла – это сумма проводимостей каждой ветви, так как все ветви соединены параллельно.

Текущие источники

Один из методов вывода теоремы Миллмана начинается с преобразования всех ветвей в источники тока (что можно сделать, используя теорему Нортона). Ветвь, которая уже является источником тока, не преобразуется. В приведенном выше выражении это эквивалентно замене члена в числителе приведенного выше выражения током источника тока, где k-я ветвь – это ветвь с источником тока. Параллельная проводимость источника тока добавляется к знаменателю, как и последовательная проводимость источников напряжения. Идеальный источник тока имеет нулевую проводимость (бесконечное сопротивление) и, следовательно, ничего не добавляет к знаменателю.

Идеальные источники напряжения

Если одна из ветвей является идеальным источником напряжения, теорема Миллмана неприменима, но в этом случае решение тривиально: напряжение на выходе принудительно устанавливается равным напряжению идеального источника напряжения. Теорема не работает с идеальными источниками напряжения, поскольку такие источники имеют нулевое сопротивление (бесконечную проводимость), из-за чего сумма в числителе и знаменателе становится бесконечной, а результат – неопределённым.