Введение
Исследование внезапных качественных изменений поведения, вызванных небольшими изменениями параметров. Теория бифуркаций – это математическое исследование изменений в качественной или топологической структуре заданного семейства кривых, таких как интегральные кривые семейства векторных полей и решения семейства дифференциальных уравнений. Чаще всего применяется к математическому изучению динамических систем; бифуркация возникает, когда небольшое непрерывное изменение параметров системы (бифуркационных параметров) вызывает внезапное «качественное» или топологическое изменение в её поведении. Бифуркации наблюдаются как в непрерывных системах (описываемых обыкновенными, дифференциальными уравнениями с запаздыванием или частными дифференциальными уравнениями), так и в дискретных системах (описываемых отображениями). Термин «бифуркация» впервые был введен Анри Пуанкаре в 1885 году в первой математической работе, демонстрирующей подобное поведение.
Bifurcation theory is the mathematical study of changes in the qualitative or topological structure of a given family of curves, such as the integral curves of a family of vector fields, and the solutions of a family of differential equations. Most commonly applied to the mathematical study of dynamical systems, a bifurcation occurs when a small smooth change made to the parameter values (the bifurcation parameters) of a system causes a sudden 'qualitative' or topological change in its behavior. Bifurcations occur in both continuous systems (described by ordinary, delay or partial differential equations) and discrete systems (described by maps). The name "bifurcation" was first introduced by Henri Poincaré in 1885 in the first paper in mathematics showing such a behavior.
Кодименсия бифуркации
Кодименсией бифуркации является число параметров, которые необходимо изменить, чтобы бифуркация имела место. Это соответствует кодименсии множества параметров, для которых бифуркация происходит в полном пространстве параметров. Бифуркации седло-узла и бифуркации Хопфа – единственные общие локальные бифуркации, которые действительно являются кодименсионными (все остальные имеют более высокую кодименсию). Однако, транскритические и вилочные бифуркации также часто рассматриваются как кодименсионные, поскольку их нормальные формы могут быть записаны, используя только один параметр. Бифуркация Богданова — Такенса является примером хорошо изученной бифуркации кодименсии два.
Применение в полуклассической и квантовой физике
Теория бифуркаций применяется для установления связи между квантовыми системами и динамикой их классических аналогов в атомных, молекулярных системах и резонансных туннельных диодах. Теория бифуркаций также используется для изучения динамики лазеров и ряда теоретических примеров, труднодоступных для экспериментальной проверки, таких как вращающийся волчок и связанные квантовые ямы. Основная причина связи между квантовыми системами и бифуркациями в классических уравнениях движения заключается в том, что при бифуркациях вклад классических траекторий становится значительным, как отмечал Мартин Гутцвиллер в своей классической работе о квантовом хаосе. Исследовались различные типы бифуркаций в контексте связи между классической и квантовой динамикой, включая бифуркации седлового узла, бифуркации Хопфа, бифуркации пуповидные, бифуркации удвоения периода, бифуркации повторного соединения, бифуркации касательных и бифуркации куспидальные.