Параметр өзгерісінен туындаған сапалық өзгерістерді зерттеу
Bifurcation theory
Бifуркация теориясы: жүйе параметрлерінің кішкентай өзгерісінен туындайтын сапалық өзгерістерді зерттейді. Математикалық модельдердегі бұрылыс нүктелері.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Кішігірім параметрлік өзгерістердің салдарынан сапалық мінез-құлықтың кенеттен өзгеруін зерттеу
Study of sudden qualitative behavior changes caused by small parameter changes
Бифуркация теориясы – берілген қисықтар отбасының сапалық немесе топологиялық құрылымындағы өзгерістерді математикалық зерттеу, мысалы, векторлық өрістер отбасының интегралдық қисықтары және дифференциалдық теңдеулер отбасының шешімдері. Көбінесе динамикалық жүйелерді математикалық зерттеуде қолданылатын бифуркация, жүйе параметрлерінің (бифуркация параметрлері) мәндеріндегі кішкентай, тегіс өзгеріс оның мінез-құлқында кенеттен 'сапалық' немесе топологиялық өзгеріске алып келгенде пайда болады. Бифуркациялар үздіксіз жүйелерде (қалыпты, кешіктірілген немесе дербес дифференциалдық теңдеулермен сипатталатын) және дискретті жүйелерде (карталармен сипатталатын) кездеседі. "Бифуркация" атауын алғаш рет 1885 жылы Генри Пуанкаре математикада мұндай мінез-құлықты көрсеткен алғашқы еңбекте енгізді.
Bifurcation theory is the mathematical study of changes in the qualitative or topological structure of a given family of curves, such as the integral curves of a family of vector fields, and the solutions of a family of differential equations. Most commonly applied to the mathematical study of dynamical systems, a bifurcation occurs when a small smooth change made to the parameter values (the bifurcation parameters) of a system causes a sudden 'qualitative' or topological change in its behavior. Bifurcations occur in both continuous systems (described by ordinary, delay or partial differential equations) and discrete systems (described by maps). The name "bifurcation" was first introduced by Henri Poincaré in 1885 in the first paper in mathematics showing such a behavior.
Қисаюдың кодименсиясы
Бифуркацияның кодименсиясы – бифуркацияның орын алуы үшін өзгеруі қажет параметрлердің саны. Бұл, бифуркацияның орын алатын параметрлер жиынының, барлық параметрлер кеңістігіндегі кодименсиясына сәйкес келеді. Жақын орналасқан, ең көп кездесетін бифуркациялардың ішінде, тек седлолық түйін және Хопф бифуркациялары ғана нақты кодименсиясы бірге тең болады (қалғандарының барлығы жоғары кодименсиялы). Дегенмен, транскритикалық және шанышқылы бифуркациялары да көбінесе кодименсиясы бір деп есептеледі, себебі олардың нормалық түрлерін тек бір параметрмен жазуға болады. Жақсы зерттелген кодименсиясы екіге тең бифуркацияның мысалы – Богданов-Такенс бифуркациясы.
The codimension of a bifurcation is the number of parameters which must be varied for the bifurcation to occur. This corresponds to the codimension of the parameter set for which the bifurcation occurs within the full space of parameters. Saddle node bifurcations and Hopf bifurcations are the only generic local bifurcations which are really codimension one (the others all having higher codimension). However, transcritical and pitchfork bifurcations are also often thought of as codimension one, because the normal forms can be written with only one parameter. An example of a well studied codimension two bifurcation is the Bogdanov–Takens bifurcation.
Жартылай классикалық және кванттық физикадағы қолданулары
Бифуркация теориясы кванттық жүйелерді атомдық жүйелердегі, молекулалық жүйелердегі және резонанстық туннельдік диодтардағы классикалық аналогтарының динамикасымен байланыстыру үшін қолданылған. Бифуркация теориясы сондай-ақ лазерлік динамиканы зерттеуге және эксперименттік жағынан қол жеткізу қиын бірқатар теориялық мысалдарға, мысалы, тепкіш жоғарғы және біріктірілген кванттық құдықтарға қолданылды. Кванттық жүйелер мен бифуркациялар арасындағы байланыстың басты себебі – бифуркацияларда классикалық орбиталардың ерекше белгісі күшейеді, бұл туралы Мартин Гутцвиллер кванттық хаосқа арналған классикалық еңбегінде айтқан. Классикалық және кванттық динамика арасындағы байланыс тұрғысынан түрлі бифуркациялар зерттелді, оның ішінде шегініс-түйін бифуркациялары, Хопф бифуркациялары, өзекті бифуркациялары, кезеңді екі еселеу бифуркациялары, қайта байланыс бифуркациялары, жанама бифуркациялар және құбырлы бифуркациялар.
Bifurcation theory has been applied to connect quantum systems to the dynamics of their classical analogues in atomic systems, molecular systems, and resonant tunneling diodes. Bifurcation theory has also been applied to the study of laser dynamics and a number of theoretical examples which are difficult to access experimentally such as the kicked top and coupled quantum wells. The dominant reason for the link between quantum systems and bifurcations in the classical equations of motion is that at bifurcations, the signature of classical orbits becomes large, as Martin Gutzwiller points out in his classic work on quantum chaos. Many kinds of bifurcations have been studied with regard to links between classical and quantum dynamics including saddle node bifurcations, Hopf bifurcations, umbilic bifurcations, period doubling bifurcations, reconnection bifurcations, tangent bifurcations, and cusp bifurcations.