Кеплерова задача: частный случай задачи двух тел в классической механике. Описывает движение тел под действием центральной силы, обратной квадрату расстояния.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Специальный случай задачи двух тел
Special case of the two body problem
a special case of the two body problem in classical mechanics
В классической механике задача Кеплера является частным случаем задачи двух тел, в которой два тела взаимодействуют посредством центральной силы F, величина которой изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния r между ними. Эта сила может быть как притягивающей, так и отталкивающей. Задача состоит в определении положения или скорости двух тел в зависимости от времени, исходя из их масс, положений и скоростей. В рамках классической механики решение может быть выражено в виде кеплеровской орбиты, описываемой шестью орбитальными элементами. Задача Кеплера названа в честь Иоганна Кеплера, который сформулировал законы Кеплера о движении планет (являющиеся частью классической механики и решающие задачу орбит планет) и исследовал типы сил, приводящие к орбитам, подчиняющимся этим законам (так называемая обратная задача Кеплера). Подробное обсуждение задачи Кеплера для радиальных орбит можно найти в статье «Радиальная траектория». Общая теория относительности предоставляет более точные решения задачи двух тел, особенно в сильных гравитационных полях.
In classical mechanics, the Kepler problem is a special case of the two body problem, in which the two bodies interact by a central force F that varies in strength as the inverse square of the distance r between them. The force may be either attractive or repulsive. The problem is to find the position or speed of the two bodies over time given their masses, positions, and velocities. Using classical mechanics, the solution can be expressed as a Kepler orbit using six orbital elements. The Kepler problem is named after Johannes Kepler, who proposed Kepler's laws of planetary motion (which are part of classical mechanics and solved the problem for the orbits of the planets) and investigated the types of forces that would result in orbits obeying those laws (called Kepler's inverse problem). For a discussion of the Kepler problem specific to radial orbits, see Radial trajectory. General relativity provides more accurate solutions to the two body problem, especially in strong gravitational fields.
Приложения
Проблема Кеплера возникает во многих областях, некоторые из которых выходят за рамки физики, изучаемой самим Кеплером. Эта проблема имеет важное значение в небесной механике, поскольку ньютоновская гравитация подчиняется закону обратных квадратов. Примеры включают движение спутника вокруг планеты, планеты вокруг звезды или двух двойных звезд друг вокруг друга. Проблема Кеплера также важна при описании движения двух заряженных частиц, поскольку закон Кулона для электростатики также подчиняется закону обратных квадратов. Проблема Кеплера и задача простого гармонического осциллятора – две фундаментальные задачи классической механики. Это единственные две задачи, для которых существуют замкнутые орбиты при любом наборе начальных условий, то есть траектории возвращаются в исходную точку с той же скоростью (теорема Бертрана). Проблема Кеплера также сохраняет вектор Лапласа — Рунге — Ленца, который впоследствии был обобщен для описания других взаимодействий. Решение проблемы Кеплера позволило ученым показать, что движение планет можно полностью объяснить с помощью классической механики и закона всемирного тяготения Ньютона; научное объяснение движения планет сыграло важную роль в наступлении эпохи Просвещения.
The Kepler problem arises in many contexts, some beyond the physics studied by Kepler himself. The Kepler problem is important in celestial mechanics, since Newtonian gravity obeys an inverse square law. Examples include a satellite moving about a planet, a planet about its sun, or two binary stars about each other. The Kepler problem is also important in the motion of two charged particles, since Coulomb’s law of electrostatics also obeys an inverse square law. The Kepler problem and the simple harmonic oscillator problem are the two most fundamental problems in classical mechanics. They are the only two problems that have closed orbits for every possible set of initial conditions, i. e., return to their starting point with the same velocity (Bertrand's theorem). The Kepler problem also conserves the Laplace–Runge–Lenz vector, which has since been generalized to include other interactions. The solution of the Kepler problem allowed scientists to show that planetary motion could be explained entirely by classical mechanics and Newton’s law of gravity; the scientific explanation of planetary motion played an important role in ushering in the Enlightenment.