Введение

В теории узлов, являющейся частью топологии, брунновская связь — это нетривиальная связь, которая распадается на набор не связанных друг с другом окружностей при удалении любого из компонентов. Иными словами, разрез любой петли освобождает все остальные петли (так, что никакие две петли не оказываются непосредственно зацепленными). Название «брунновская связь» происходит от имени Германна Брунна. Примеры таких связей были приведены в статье Брунна 1892 года «Über Verkettung».

Примеры

Наиболее известным и простым из возможных бруннианских звеньев являются борромеевские кольца – связь из трех тривиальных узлов. Однако для любого числа, большего или равного трём, существует бесконечное количество звеньев с бруннианским свойством, содержащих такое число петель. Вот несколько относительно простых трёхкомпонентных бруннианских звеньев, отличных от борромеевских колец:

Предположительно, самым простым бруннианским звеном, помимо 6-пересекающихся борромеевских колец, является 10-пересекающееся звено L10a140. Примером n-компонентного бруннианского звена служат «резиночные» бруннианские звенья, где каждый компонент охватывает следующий по схеме aba⁻¹b⁻¹, а последний компонент охватывает первый, образуя замкнутую цепь. В 2020 году с использованием высокогибких геометрических методов топологии были обнаружены новые и гораздо более сложные бруннианские звенья, чем все ранее построенные. См. Раздел 6.

Классификация

Бруннианские сцепления были классифицированы с точностью до гомотопии сцеплений Джоном Милнором в 1954 году, и инварианты, введенные им, теперь называются инвариантами Милнора. (n + 1)-компонентное Бруннианское сцепление можно рассматривать как элемент группы сцеплений, которая в этом случае (но не в общем случае) является фундаментальной группой дополнения сцепления к n-компонентному развязке, поскольку по свойству Бруннианскости удаление последнего сцепления развязывает остальные. Группа сцеплений n-компонентной развязки является свободной группой на n образующих, Fn, поскольку группа сцеплений однокомпонентного сцепления является группой узла тривиального узла, которая является целыми числами, а группа сцеплений несвязанного объединения является свободным произведением групп сцеплений компонент. Не каждый элемент группы сцеплений порождает Бруннианское сцепление, так как удаление любого другого компонента также должно развязать оставшиеся n элементов. Милнор показал, что элементы группы, соответствующие Бруннианским сцеплениям, связаны с градуированной алгеброй Ли нижнего центрального ряда свободной группы, которую можно интерпретировать как «соотношения» в свободной алгебре Ли. В 2021 году были исследованы две специальные спутниковые операции для Бруннианских сцеплений в 3-сфере, называемые «спутниковая сумма» и «спутниковый узел», обе из которых могут быть использованы для построения бесконечного множества различных Бруннианских сцеплений из почти любого Бруннианского сцепления.

Продукты Massey

Бруннианские звенья можно понять в алгебраической топологии с помощью продуктов Масси: продукт Масси — это n-кратное произведение, которое определено только в том случае, если все (n − 1)-кратные произведения его операндов равны нулю. Это соответствует бруннианскому свойству, заключающемуся в том, что все (n − 1)-компонентные подзвенья не сцеплены, но полное n-компонентное звено сцеплено нетривиально.

Бруннианские косички

Бруннианская плетенка — это плетенка, которая становится тривиальной при удалении любой из её нитей. Бруннианские плетенки образуют подгруппу группы кос. Бруннианские плетенки над 2-й сферой, которые не являются бруннианскими над 2-м диском, порождают нетривиальные элементы в гомотопических группах 2-й сферы. Например, "стандартная" коса, соответствующая кольцам Борромея, порождает фибрацию Хопфа S³ → S², и повторения этой косы (как при обычном плетении) также являются бруннианскими.

Примеры из реального мира

Многие головоломки на разъединение и некоторые механические головоломки являются вариантами брунниевских связей, где задача состоит в освобождении одной детали, лишь частично соединенной с остальными, и тем самым разборке конструкции. Брунниевские цепи также используются для создания носимых и декоративных изделий из резинок с помощью таких устройств, как Rainbow Loom или Wonder Loom.