Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Линия, касающаяся кривой в двух точках – геометрическое понятие.
Line tangent to a curve at two locations
the geometric concept
В геометрии битангенсой к кривой C называется прямая L, касающаяся C в двух различных точках P и Q и имеющая то же направление, что и кривая C в этих точках. Иными словами, L является касательной к кривой в точках P и Q.
In geometry, a bitangent to a curve C is a line L that touches C in two distinct points P and Q and that has the same direction as C at these points. That is, L is a tangent line at P and at Q.
Битангенты алгебраических кривых
В целом, алгебраическая кривая имеет бесконечно много секансных прямых, но лишь конечное число битангент. Теорема Безу́ утверждает, что алгебраическая плоская кривая, имеющая битангенту, должна иметь степень не ниже 4. Исследование 28 битангент квартики было выдающимся достижением геометрии XIX века, установившим связь с 27 прямыми на кубической поверхности.
In general, an algebraic curve will have infinitely many secant lines, but only finitely many bitangents. Bézout's theorem implies that an algebraic plane curve with a bitangent must have degree at least 4. The case of the 28 bitangents of a quartic was a celebrated piece of geometry of the nineteenth century, a relationship being shown to the 27 lines on the cubic surface.
Битангенты многоугольников
Четыре битангенты двух непересекающихся выпуклых многоугольников могут быть эффективно найдены алгоритмом, основанным на бинарном поиске, в котором поддерживается указатель бинарного поиска в списках ребер каждого многоугольника и один из указателей перемещается влево или вправо на каждом шаге в зависимости от точки пересечения касательных к ребрам, на которые указывают оба указателя. Этот расчет битангент является ключевой подпрограммой в структурах данных для динамического поддержания выпуклых оболочек. Опишите алгоритм для эффективного перечисления всех битангентных отрезков, которые не пересекают ни одну из других кривых в системе множества непересекающихся выпуклых кривых, используя метод, основанный на псевдотриангуляции. Битангенты могут быть использованы для ускорения подхода с использованием графа видимости при решении задачи поиска кратчайшего евклидова пути: кратчайший путь среди набора многоугольных препятствий может входить или выходить из границы препятствия только вдоль одной из его битангент, поэтому кратчайший путь можно найти, применив алгоритм Дейкстры к подграфу графа видимости, образованному ребрами видимости, лежащими на битангентах.
The four bitangents of two disjoint convex polygons may be found efficiently by an algorithm based on binary search in which one maintains a binary search pointer into the lists of edges of each polygon and moves one of the pointers left or right at each steps depending on where the tangent lines to the edges at the two pointers cross each other. This bitangent calculation is a key subroutine in data structures for maintaining convex hulls dynamically describe an algorithm for efficiently listing all bitangent line segments that do not cross any of the other curves in a system of multiple disjoint convex curves, using a technique based on pseudotriangulation. Bitangents may be used to speed up the visibility graph approach to solving the Euclidean shortest path problem: the shortest path among a collection of polygonal obstacles may only enter or leave the boundary of an obstacle along one of its bitangents, so the shortest path can be found by applying Dijkstra's algorithm to a subgraph of the visibility graph formed by the visibility edges that lie on bitangent lines .
Связанные понятия
Битангент отличается от секущей прямой тем, что секущая прямая может пересекать кривую в двух точках пересечения. Также можно рассматривать битангенты, которые не являются прямыми; например, симметричный набор кривой представляет собой геометрическое место центров окружностей, касающихся кривой в двух точках. Битангенты к парам окружностей играют важную роль в построении кругов Малфатти, выполненном Якобом Штайнером в 1826 году, в задаче о ремне для вычисления длины ремня, соединяющего два шкива, в теореме Кейси, характеризующей наборы из четырех окружностей с общей касательной окружностью, и в теореме Монжа о коллинеарности точек пересечения определенных битангентов.
A bitangent differs from a secant line in that a secant line may cross the curve at the two points it intersects it. One can also consider bitangents that are not lines; for instance, the symmetry set of a curve is the locus of centers of circles that are tangent to the curve in two points. Bitangents to pairs of circles figure prominently in Jakob Steiner's 1826 construction of the Malfatti circles, in the belt problem of calculating the length of a belt connecting two pulleys, in Casey's theorem characterizing sets of four circles with a common tangent circle, and in Monge's theorem on the collinearity of intersection points of certain bitangents.