Полный четырехугольник и полный четырехугольник в проективной геометрии
Complete quadrangle
Полный четырехугольник и четырехугольник: определение, свойства и связь в геометрии. Точки, линии, диагонали, пересечения. Математика и проективная геометрия.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Геометрическая фигура, образованная четырьмя точками, соединенными шестью линиями.
Geometric figure made of 4 points connected by 6 lines
В математике, в частности в геометрии инцидентности и особенно в проективной геометрии, полный четырехугольник — это система геометрических объектов, состоящая из любых четырех точек в плоскости, ни три из которых не лежат на одной прямой, и шести линий, соединяющих все пары этих точек. Дуально, полный четырехугольник — это система из четырех прямых, ни три из которых не проходят через одну и ту же точку, и шести точек пересечения этих прямых. Полный четырехугольник ранее назывался тетрастигмом, а полный четырехугольник — тетраграммой; эти термины иногда все еще употребляются.
In mathematics, specifically in incidence geometry and especially in projective geometry, a complete quadrangle is a system of geometric objects consisting of any four points in a plane, no three of which are on a common line, and of the six lines connecting the six pairs of points. Dually, a complete quadrilateral is a system of four lines, no three of which pass through the same point, and the six points of intersection of these lines. The complete quadrangle was called a tetrastigm by , and the complete quadrilateral was called a tetragram; those terms are occasionally still used.
Диагональ
Шесть прямых полного четырехугольника пересекаются попарно, образуя три дополнительные точки, называемые диагональными точками четырехугольника. Аналогично, среди шести точек полного четырехугольника существуют три пары точек, не соединенных изначально прямыми; отрезки, соединяющие эти пары, называются диагоналями. Для точек и прямых в евклидовой плоскости диагональные точки не могут лежать на одной прямой, а диагонали не могут иметь общей точки тройного пересечения. В связи с открытием плоскости Фано, конечной геометрии, в которой диагональные точки полного четырехугольника коллинеарны, некоторые авторы дополнили аксиомы проективной геометрии аксиомой Фано о неколлинеарности диагональных точек, в то время как другие придерживались менее строгих ограничений. Г. Б. Халстед ввел набор сокращенных обозначений для элементов полного четырехугольника: он называет вершины четырехугольника точками, а диагональные точки – кодотами. Прямые проективного пространства называются прямыми, а в четырехугольнике – соединителями. "Диагональные прямые" Коксетера Халстед называет противоположными соединителями. Противоположные соединители пересекаются в кодоте. Конфигурация полного четырехугольника называется тетрастимом.
The six lines of a complete quadrangle meet in pairs to form three additional points called the diagonal points of the quadrangle. Similarly, among the six points of a complete quadrilateral there are three pairs of points that are not already connected by lines; the line segments connecting these pairs are called diagonals. For points and lines in the Euclidean plane, the diagonal points cannot lie on a single line, and the diagonals cannot have a single point of triple crossing. Due to the discovery of the Fano plane, a finite geometry in which the diagonal points of a complete quadrangle are collinear, some authors have augmented the axioms of projective geometry with Fano's axiom that the diagonal points are not collinear, while others have been less restrictive. A set of contracted expressions for the parts of a complete quadrangle were introduced by G. B. Halsted: He calls the vertices of the quadrangle dots, and the diagonal points he calls codots. The lines of the projective space are called straights, and in the quadrangle they are called connectors. The "diagonal lines" of Coxeter are called opposite connectors by Halsted. Opposite connectors cross at a codot. The configuration of the complete quadrangle is a tetrastim.
Проективные свойства
Поскольку системы точек и прямых, в которых все точки лежат на одинаковом числе прямых, а все прямые содержат одинаковое число точек, полный четырехугольник и полный четырехугольник образуют проективные конфигурации; в обозначениях проективных конфигураций полный четырехугольник записывается как (4362), а полный четырехугольник как (6243), где числа в этих обозначениях указывают на количество точек, прямых, проходящих через точку, прямых и точек, лежащих на прямой, в данной конфигурации. Проективный двойственный элемент полного четырехугольника — полный четырехугольник, и наоборот. Для любых двух полных четырехугольников или любых двух полных четырехугольников существует единственное проективное преобразование, переводящее одну из двух конфигураций в другую. Карл фон Стаудт в 1847 году заложил новые математические основы, используя полный четырехугольник, когда он заметил, что "гармоническое свойство" может быть основано на сопутствующих четырёхугольнику величинах: если каждая пара противоположных сторон четырехугольника пересекается на одной прямой, то диагонали пересекают эту прямую в проективно гармонически сопряженных точках. Четыре точки на этой прямой, полученные из сторон и диагоналей четырехугольника, называются гармоническим рядом. Благодаря перспективности и проективности, гармоническое свойство сохраняется. В современной геометрии и алгебре отмечают влияние фон Стаудта на Марио Пьери и Феликса Клейна.
As systems of points and lines in which all points belong to the same number of lines and all lines contain the same number of points, the complete quadrangle and the complete quadrilateral both form projective configurations; in the notation of projective configurations, the complete quadrangle is written as (4362) and the complete quadrilateral is written (6243), where the numbers in this notation refer to the numbers of points, lines per point, lines, and points per line of the configuration. The projective dual of a complete quadrangle is a complete quadrilateral, and vice versa. For any two complete quadrangles, or any two complete quadrilaterals, there is a unique projective transformation taking one of the two configurations into the other. Karl von Staudt reformed mathematical foundations in 1847 with the complete quadrangle when he noted that a "harmonic property" could be based on concomitants of the quadrangle: When each pair of opposite sides of the quadrangle intersect on a line, then the diagonals intersect the line at projective harmonic conjugate positions. The four points on the line deriving from the sides and diagonals of the quadrangle are called a harmonic range. Through perspectivity and projectivity, the harmonic property is stable. Developments of modern geometry and algebra note the influence of von Staudt on Mario Pieri and Felix Klein .
Эвклидовые свойства
В евклидовой плоскости четыре прямые полного четырёхсторонника не должны содержать пар параллельных прямых, чтобы каждая пара прямых имела точку пересечения. Описываются несколько дополнительных свойств полных четырёхсторонников, которые связаны с метрическими свойствами евклидовой плоскости, а не являются чисто проективными. Середины диагоналей лежат на одной прямой, и (как доказал Исаак Ньютон) также лежат на одной прямой с центром конического сечения, касающегося всех четырёх прямых четырёхсторонника. Любые три прямые четырёхсторонника образуют стороны треугольника; ортоцентры четырёх треугольников, образованных таким образом, лежат на второй прямой, перпендикулярной той, что проходит через середины диагоналей. Окружности, описанные вокруг этих четырёх треугольников, пересекаются в одной точке. Кроме того, три окружности, диаметрами которых служат диагонали, принадлежат общему пучку окружностей, осью которого является прямая, проходящая через ортоцентры. Полярные окружности треугольников полного четырёхсторонника образуют коаксиальную систему.
In the Euclidean plane, the four lines of a complete quadrilateral must not include any pairs of parallel lines, so that every pair of lines has a crossing point. describes several additional properties of complete quadrilaterals that involve metric properties of the Euclidean plane, rather than being purely projective. The midpoints of the diagonals are collinear, and (as proved by Isaac Newton) also collinear with the center of a conic that is tangent to all four lines of the quadrilateral. Any three of the lines of the quadrilateral form the sides of a triangle; the orthocenters of the four triangles formed in this way lie on a second line, perpendicular to the one through the midpoints. The circumcircles of these same four triangles meet in a point. In addition, the three circles having the diagonals as diameters belong to a common pencil of circles the axis of which is the line through the orthocenters. The polar circles of the triangles of a complete quadrilateral form a coaxal system.