Введение

Аналитическая геометрия, также известная как геометрия координат или декартова геометрия, – это раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры с помощью системы координат. Это противопоставляется синтетической геометрии. Аналитическая геометрия применяется в физике и инженерии, а также в авиации, ракетостроении, космической науке и космонавтике. Она является основой большинства современных направлений геометрии, включая алгебраическую, дифференциальную, дискретную и вычислительную геометрию. Как правило, декартова система координат используется для работы с уравнениями плоскостей, прямых и окружностей, чаще всего в двух, а иногда и в трех измерениях. Геометрически изучаются евклидова плоскость (двумерное пространство) и евклидово пространство. Аналитическую геометрию, как она излагается в школьных учебниках, можно объяснить проще: она занимается определением и представлением геометрических фигур в числовой форме, а также получением численной информации из числовых определений и представлений этих фигур. Возможность использования алгебры действительных чисел для получения результатов, касающихся линейного континуума геометрии, опирается на аксиому Кантора — Дедекинда.

Древняя Греция

Греческий математик Менахм решал задачи и доказывал теоремы, используя метод, который сильно напоминал использование координат, и иногда утверждалось, что он заложил основы аналитической геометрии. Аполлоний Пергский в трактате «Об определенной секущей» рассматривал задачи, которые можно назвать аналитической геометрией одного измерения, а именно вопрос о нахождении точек на прямой, находящихся в определенном отношении друг к другу. В «Конических сечениях» Аполлоний развил метод, настолько схожий с аналитической геометрией, что его работы иногда считают предвосхитившими работы Декарта примерно на 1800 лет. Его применение опорных линий, диаметра и касательной по существу не отличается от нашего современного использования системы координат, где расстояния, измеряемые вдоль диаметра от точки касания, являются абсциссами, а отрезки, параллельные касательной и заключенные между осью и кривой, – ординатами. Он также разработал соотношения между абсциссами и соответствующими ординатами, эквивалентные словесным (риторическим) уравнениям кривых. Однако, хотя Аполлоний и приблизился к созданию аналитической геометрии, ему не удалось этого сделать, поскольку он не принимал во внимание отрицательные величины, и в каждом случае система координат накладывалась на заданную кривую a posteriori, а не a priori. Иными словами, уравнения определялись кривыми, но не кривые уравнениями. Координаты, переменные и уравнения были вспомогательными понятиями, применяемыми к конкретной геометрической задаче.

Персия

Персидский математик XI века Омар Хайям усматривал тесную связь между геометрией и алгеброй и двигался в верном направлении, способствуя сближению численной и геометрической алгебры, однако решающий шаг был сделан позднее Декартом. Омару Хайяму приписывают определение основ алгебраической геометрии, а его книга «Трактат о доказательствах задач алгебры» (1070 г.), в которой были заложены принципы аналитической геометрии, является частью персидской математической традиции, которая впоследствии была передана в Европу. Благодаря его всестороннему геометрическому подходу к алгебраическим уравнениям, Хайяма можно считать предшественником Декарта в изобретении аналитической геометрии.

Западная Европа

Аналитическая геометрия была независимо изобретена Рене Декартом и Пьером де Ферма, хотя иногда Декарту приписывают это открытие единолично. Картезианская геометрия, альтернативное название аналитической геометрии, названа в честь Декарта. Декарт добился значительного прогресса в разработке этих методов в эссе под названием «La Géométrie» (Геометрия), одном из трех сопроводительных эссе (приложений), опубликованных в 1637 году вместе с его «Рассуждением о методе, ведущем разум к истине», обычно называемым «Рассуждением о методе». «La Géométrie», написанная на его родном французском языке, и лежащие в ее основе философские принципы заложили основу для развития математического анализа в Европе. Первоначально работа не была встречена с одобрением, отчасти из-за наличия в ней логических пробелов и сложных уравнений. Только после перевода на латинский язык и добавления комментариев ван Схоотена в 1649 году (и последующей работы) шедевр Декарта получил заслуженное признание. Пьер де Ферма также был пионером в разработке аналитической геометрии. Хотя при жизни Ферма его работа не была опубликована, рукопись «Ad locos planos et solidos isagoge» (Введение к плоским и объемным геометрическим местам) распространялась в Париже в 1637 году, незадолго до публикации «Рассуждения о методе» Декарта. Написанное ясным языком и получившее положительные отзывы, «Введение» также заложило основу для аналитической геометрии. Ключевое различие между подходами Ферма и Декарта заключается в их отправной точке: Ферма всегда начинал с алгебраического уравнения, а затем описывал геометрическую кривую, удовлетворяющую этому уравнению, в то время как Декарт начинал с геометрических кривых и выводил их уравнения как одно из свойств этих кривых.

Картезианские координаты (в плоскости или пространстве)

Наиболее распространенной системой координат является декартова система координат, где каждая точка имеет координату x, обозначающую её горизонтальное положение, и координату y, обозначающую её вертикальное положение. Обычно они записываются в виде упорядоченной пары (x, y). Эта система также может использоваться для трехмерной геометрии, где каждая точка в евклидовом пространстве представляется упорядоченной тройкой координат (x, y, z).

Полярные координаты (в плоскости)

В полярных координатах каждая точка плоскости задаётся своим расстоянием r от начала координат и углом θ, при этом θ обычно отсчитывается против часовой стрелки от положительной оси x. Используя такое обозначение, точки обычно записываются в виде упорядоченной пары (r, θ). Можно осуществлять преобразование между двумерными декартовыми и полярными координатами, используя следующие формулы: Эта система может быть обобщена на трёхмерное пространство посредством использования цилиндрических или сферических координат.

Цилиндрические координаты (в пространстве)

В цилиндрических координатах каждая точка пространства определяется высотой z, расстоянием r от оси z и углом θ, который ее проекция на плоскость xy образует с горизонтальной осью.

Сферические координаты (в пространстве)

В сферических координатах каждая точка в пространстве задается расстоянием ρ от начала координат, углом θ, который ее проекция на плоскость xy образует с горизонтальной осью, и углом φ, который она образует с осью z. В физике обозначения углов часто меняются местами. Как правило, одно уравнение соответствует кривой на плоскости. Однако это не всегда так: тривиальное уравнение x = x определяет всю плоскость, а уравнение x² + y² = 0 определяет лишь одну точку (0, 0). В трех измерениях одно уравнение обычно задает поверхность, а кривую необходимо задавать как пересечение двух поверхностей (см. ниже) или как систему параметрических уравнений. Уравнение x² + y² = r² является уравнением любого круга с центром в начале координат (0, 0) и радиусом r.

Квадрические поверхности

Квадрика, или квадрическая поверхность, — это двухмерная поверхность в трехмерном пространстве, определяемая как множество нулей квадратичного многочлена. В координатах x1, x2, x3 общая квадрика определяется алгебраическим уравнением.

К квадрическим поверхностям относятся эллипсоиды (включая сферу), параболоиды, гиперболоиды, цилиндры, конусы и плоскости.

Поиск перехваченных данных

Один из видов пересечения, который широко изучается, — это пересечение геометрического объекта с осями координат x и y. Пересечение геометрического объекта с осью x называется x-перехватом (или точкой пересечения с осью x) этого объекта. Пересечение геометрического объекта с осью y называется y-перехватом (или точкой пересечения с осью y) этого объекта. Для прямой y = mx + b параметр b определяет точку, где прямая пересекает ось y. В зависимости от контекста, либо b, либо точка (0, b) называется y-перехватом.

Геометрическая ось

Ось в геометрии — это линия, перпендикулярная любой линии, объекту или поверхности. В обычной речи для этого также используется термин «нормаль» (перпендикуляр), а в инженерной практике — «осевая линия». В геометрии нормаль — это объект, такой как линия или вектор, который перпендикулярен заданному объекту. Например, в двумерном случае нормалью к кривой в данной точке является линия, перпендикулярная касательной к кривой в этой точке. В трехмерном случае нормалью к поверхности в точке P является вектор, перпендикулярный касательной плоскости к этой поверхности в точке P. Слово «нормальный» также используется как прилагательное: линия, нормальная к плоскости, нормальная составляющая силы, нормальный вектор и т.д. Понятие нормальности обобщается до ортогональности.

Сферические и нелинейные плоскости и их тангенсы

Касательная — это линейное приближение сферической или другой криволинейной функции.

Тангентные линии и плоскости

В геометрии касательная линия (или просто касательная) к плоской кривой в заданной точке — это прямая, которая "касается" кривой в этой точке. Неформально это прямая, проходящая через пару бесконечно близких точек на кривой. Более точно, прямая называется касательной к кривой y = f(x) в точке x = c на кривой, если эта прямая проходит через точку (c, f(c)) на кривой и имеет угловой коэффициент, равный производной функции f в точке c. Аналогичное определение применимо к пространственным кривым и кривым в n-мерном евклидовом пространстве. Поскольку касательная проходит через точку, в которой касательная и кривая пересекаются, называемую точкой касания, касательная "идет в том же направлении", что и кривая, и, таким образом, является наилучшим линейным приближением к кривой в этой точке. Аналогично, касательная плоскость к поверхности в заданной точке — это плоскость, которая "касается" поверхности в этой точке. Понятие касательной является одним из фундаментальных понятий в дифференциальной геометрии и получило широкое обобщение; см. Касательное пространство.