Неевклидовы геометрии: История и основы

Введение

Две геометрии, основанные на аксиомах, тесно связанных с теми, что определяют геометрию Евклида.

В математике неевклидова геометрия состоит из двух геометрий, основанных на аксиомах, тесно связанных с аксиомами, определяющими геометрию Евклида. Поскольку Евклидова геометрия лежит на пересечении метрической и аффинной геометрий, неевклидова геометрия возникает либо путем замены постулата о параллельных прямых альтернативным постулатом, либо путем ослабления метрических требований. В первом случае получаются гиперболическая и эллиптическая геометрии – традиционные неевклидовы геометрии. При ослаблении метрических требований возникают аффинные плоскости, связанные с планарными алгебрами, которые порождают кинематические геометрии, также называемые неевклидовыми.

Предыстория

Евклидова геометрия, названная в честь греческого математика Евклида, включает в себя одни из древнейших известных математических знаний, и геометрии, отклонявшиеся от неё, не получили широкого признания как легитимные до XIX века. Дискуссия, которая в конечном итоге привела к открытию неевклидовых геометрий, началась почти сразу после написания Евклидом «Начал». В «Началах» Евклид исходит из ограниченного числа предположений (23 определений, пять общих понятий и пять постулатов) и стремится доказать все остальные результаты (предложения) в работе. Самый печально известный из постулатов часто называют «Пятым постулатом Евклида» или просто постулатом о параллельных прямых, который в оригинальной формулировке Евклида звучит так:
Если прямая линия пересекает две прямые линии таким образом, что внутренние углы с одной стороны в сумме меньше двух прямых углов, то эти прямые, продолженные до бесконечности, встретятся на той стороне, где углы меньше двух прямых углов. Другие математики предложили более простые формулировки этого свойства. Однако, независимо от формулировки постулата, он неизменно представляется более сложным, чем остальные постулаты Евклида:
1. Провести прямую линию от любой точки к любой точке. 2. Продлить конечную прямую линию непрерывно по прямой. 3. Описать окружность с любым центром и радиусом. 4. Все прямые углы равны друг другу. На протяжении по крайней мере тысячи лет геометры были обеспокоены особой сложностью пятого постулата и полагали, что его можно доказать как теорему, исходя из остальных четырех. Многие пытались найти доказательство от противного, в том числе Ибн аль-Хайсам (Альхазен, XI век), Омар Хайям (XII век), Насир ад-Дин ат-Туси (XIII век) и Джованни Джероламо Саккери (XVIII век). Теоремы Ибн аль-Хайсама, Хайяма и ат-Туси о четырехугольниках, включая четырехугольник Ламберта и четырехугольник Саккери, были «первыми теоремами гиперболической и эллиптической геометрий». Эти теоремы, наряду с их альтернативными постулатами, такими как аксиома Плейфера, сыграли важную роль в последующем развитии неевклидовой геометрии. Эти ранние попытки оспорить пятый постулат оказали значительное влияние на его развитие среди более поздних европейских геометров, включая Витело, Леви бен Герсона, Альфонсо, Джона Уоллиса и Саккери. Однако все эти ранние попытки сформулировать неевклидову геометрию привели к ошибочным доказательствам постулата о параллельных прямых, основанным на предположениях, которые теперь признаются по существу эквивалентными постулату о параллельных прямых. Тем не менее, эти ранние попытки предоставили некоторые первые свойства гиперболической и эллиптической геометрий. Хайям, например, пытался вывести его из эквивалентного постулата, сформулированного им на основе «принципов Философа» (Аристотеля): «Две сходящиеся прямые пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые расходились в направлении их схождения». Затем Хайям рассмотрел три случая – прямой, тупой и острый – углов вершины четырёхугольника Саккери и, доказав ряд теорем о них, правильно опроверг тупой и острый случаи, основываясь на своем постулате, и таким образом получил классический постулат Евклида, не осознавая, что он эквивалентен его собственному постулату. Другой пример – сын ат-Туси, Садр ад-Дин (иногда известный как «Псевдо-Туси»), который в 1298 году написал книгу на эту тему, основанную на более поздних мыслях ат-Туси, в которой была представлена другая гипотеза, эквивалентная постулату о параллельных прямых. «Он по существу пересмотрел как евклидову систему аксиом и постулатов, так и доказательства многих предложений из «Начал»». Его работа была опубликована в Риме в 1594 году и изучалась европейскими геометрами, в том числе Саккери, который критиковал эту работу, а также работу Уоллиса. Джордано Витале в своей книге «Euclide restituo» (1680, 1686) использовал четырёхугольник Саккери, чтобы доказать, что если три точки равноудалены на основании AB и вершине CD, то AB и CD равноудалены везде. В работе под названием «Euclides ab Omni Naevo Vindicatus» (Евклид освобожден от всех недостатков), опубликованной в 1733 году, Саккери быстро отбросил эллиптическую геометрию как возможность (для работы эллиптической геометрии необходимо изменить некоторые другие аксиомы Евклида) и приступил к доказательству большого количества результатов в гиперболической геометрии. Он, наконец, пришел к выводу, что его результаты демонстрируют невозможность гиперболической геометрии. Его утверждение, по-видимому, основывалось на евклидовых предпосылках, поскольку логического противоречия не было обнаружено. В этой попытке доказать евклидову геометрию он непреднамеренно открыл новую жизнеспособную геометрию, но не осознал этого. В 1766 году Иоганн Ламберт написал, но не опубликовал, «Theorie der Parallellinien», в которой, как и Саккери, пытался доказать пятый постулат. Он работал с фигурой, теперь известной как четырёхугольник Ламберта, четырёхугольником с тремя прямыми углами (можно рассматривать как половину четырёхугольника Саккери). Он быстро исключил возможность того, что четвертый угол тупой, как это сделали Саккери и Хайям, а затем приступил к доказательству многих теорем, исходя из предположения об остром угле. В отличие от Саккери, он никогда не чувствовал, что достиг противоречия с этим предположением. Он доказал неевклидов результат о том, что сумма углов в треугольнике увеличивается по мере уменьшения площади треугольника, и это привело его к предположению о возможности модели острого случая на сфере с мнимым радиусом. Он не развил эту идею дальше. В то время широко считалось, что вселенная функционирует в соответствии с принципами евклидовой геометрии.

Euclidean geometry, named after the Greek mathematician Euclid, includes some of the oldest known mathematics, and geometries that deviated from this were not widely accepted as legitimate until the 19th century. The debate that eventually led to the discovery of the non Euclidean geometries began almost as soon as Euclid wrote Elements. In the Elements, Euclid begins with a limited number of assumptions (23 definitions, five common notions, and five postulates) and seeks to prove all the other results (propositions) in the work. The most notorious of the postulates is often referred to as "Euclid's Fifth Postulate", or simply the parallel postulate, which in Euclid's original formulation is:
If a straight line falls on two straight lines in such a manner that the interior angles on the same side are together less than two right angles, then the straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles. Other mathematicians have devised simpler forms of this property. Regardless of the form of the postulate, however, it consistently appears more complicated than Euclid's other postulates:
1. To draw a straight line from any point to any point. 2. To produce [extend] a finite straight line continuously in a straight line. 3. To describe a circle with any centre and distance [radius]. 4. That all right angles are equal to one another. For at least a thousand years, geometers were troubled by the disparate complexity of the fifth postulate, and believed it could be proved as a theorem from the other four. Many attempted to find a proof by contradiction, including Ibn al Haytham (Alhazen, 11th century), Omar Khayyám (12th century), Nasīr al Dīn al Tūsī (13th century), and Giovanni Girolamo Saccheri (18th century). The theorems of Ibn al Haytham, Khayyam and al Tusi on quadrilaterals, including the Lambert quadrilateral and Saccheri quadrilateral, were "the first few theorems of the hyperbolic and the elliptic geometries". These theorems along with their alternative postulates, such as Playfair's axiom, played an important role in the later development of non Euclidean geometry. These early attempts at challenging the fifth postulate had a considerable influence on its development among later European geometers, including Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis and Saccheri. All of these early attempts made at trying to formulate non Euclidean geometry, however, provided flawed proofs of the parallel postulate, depending on assumptions that are now recognized as essentially equivalent to the parallel postulate. These early attempts did, however, provide some early properties of the hyperbolic and elliptic geometries. Khayyam, for example, tried to derive it from an equivalent postulate he formulated from "the principles of the Philosopher" (Aristotle): "Two convergent straight lines intersect and it is impossible for two convergent straight lines to diverge in the direction in which they converge." Khayyam then considered the three cases right, obtuse, and acute that the summit angles of a Saccheri quadrilateral can take and after proving a number of theorems about them, he correctly refuted the obtuse and acute cases based on his postulate and hence derived the classic postulate of Euclid, which he didn't realize was equivalent to his own postulate. Another example is al Tusi's son, Sadr al Din (sometimes known as "Pseudo Tusi"), who wrote a book on the subject in 1298, based on al Tusi's later thoughts, which presented another hypothesis equivalent to the parallel postulate. "He essentially revised both the Euclidean system of axioms and postulates and the proofs of many propositions from the Elements." His work was published in Rome in 1594 and was studied by European geometers, including Saccheri who criticised this work as well as that of Wallis. Giordano Vitale, in his book Euclide restituo (1680, 1686), used the Saccheri quadrilateral to prove that if three points are equidistant on the base AB and the summit CD, then AB and CD are everywhere equidistant. In a work titled Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid Freed from All Flaws), published in 1733, Saccheri quickly discarded elliptic geometry as a possibility (some others of Euclid's axioms must be modified for elliptic geometry to work) and set to work proving a great number of results in hyperbolic geometry. He finally reached a point where he believed that his results demonstrated the impossibility of hyperbolic geometry. His claim seems to have been based on Euclidean presuppositions, because no logical contradiction was present. In this attempt to prove Euclidean geometry he instead unintentionally discovered a new viable geometry, but did not realize it. In 1766 Johann Lambert wrote, but did not publish, Theorie der Parallellinien in which he attempted, as Saccheri did, to prove the fifth postulate. He worked with a figure now known as a Lambert quadrilateral, a quadrilateral with three right angles (can be considered half of a Saccheri quadrilateral). He quickly eliminated the possibility that the fourth angle is obtuse, as had Saccheri and Khayyam, and then proceeded to prove many theorems under the assumption of an acute angle. Unlike Saccheri, he never felt that he had reached a contradiction with this assumption. He had proved the non Euclidean result that the sum of the angles in a triangle increases as the area of the triangle decreases, and this led him to speculate on the possibility of a model of the acute case on a sphere of imaginary radius. He did not carry this idea any further. At this time it was widely believed that the universe worked according to the principles of Euclidean geometry.

Открытие неевклидовой геометрии

Начало 19-го века, наконец, ознаменовалось решительными шагами в создании неевклидовой геометрии. Около 1813 года Карл Фридрих Гаусс, а независимо от него, примерно в 1818 году, немецкий профессор права Фердинанд Карл Швейкарт сформулировали основополагающие идеи неевклидовой геометрии, однако ни один из них не опубликовал свои результаты. Племянник Швейкарта, Франц Таурин, опубликовал важные результаты гиперболической тригонометрии в двух статьях в 1825 и 1826 годах, но, признавая внутреннюю непротиворечивость гиперболической геометрии, он по-прежнему считал евклидову геометрию особенной. Затем, в 1829–1830 годах русский математик Николай Иванович Лобачевский, а в 1832 году венгерский математик Янош Бойяи независимо друг от друга опубликовали трактаты по гиперболической геометрии. Вследствие этого гиперболическая геометрия называется лобачевской или бойяи-лобачевской геометрией, поскольку оба математика, независимо друг от друга, являются основоположниками неевклидовой геометрии. Гаусс упомянул отцу Бойяи, когда ему показали работу младшего Бойяи, что он разработал подобную геометрию несколько лет назад, но не опубликовал её. Если Лобачевский создал неевклидову геометрию, отрицая постулат о параллельных, то Бойяи разработал геометрию, в которой возможны как евклидова, так и гиперболическая геометрии, в зависимости от параметра k. Бойяи завершает свою работу замечанием о том, что невозможно, основываясь лишь на математических рассуждениях, определить, является ли геометрия физической Вселенной евклидовой или неевклидовой; это задача для физических наук. Бернхард Риман в своей знаменитой лекции 1854 года заложил основы римановой геометрии, обсудив, в частности, понятия, которые теперь известны как многообразия, риманова метрика и кривизна. Он построил бесконечное семейство неевклидовых геометрий, предоставив формулу для семейства римановых метрик на единичном шаре в евклидовом пространстве. Самая простая из них называется эллиптической геометрией и считается неевклидовой из-за отсутствия параллельных линий. Сформулировав геометрию в терминах тензора кривизны, Риман позволил применять неевклидову геометрию к пространствам более высокой размерности. Белтрами (1868) первым применил геометрию Римана к пространствам с отрицательной кривизной.

The beginning of the 19th century would finally witness decisive steps in the creation of non Euclidean geometry. Circa 1813, Carl Friedrich Gauss and independently around 1818, the German professor of law Ferdinand Karl Schweikart had the germinal ideas of non Euclidean geometry worked out, but neither published any results. Schweikart's nephew Franz Taurinus did publish important results of hyperbolic trigonometry in two papers in 1825 and 1826, yet while admitting the internal consistency of hyperbolic geometry, he still believed in the special role of Euclidean geometry. Then, in 1829–1830 the Russian mathematician Nikolai Ivanovich Lobachevsky and in 1832 the Hungarian mathematician János Bolyai separately and independently published treatises on hyperbolic geometry. Consequently, hyperbolic geometry is called Lobachevskian or Bolyai Lobachevskian geometry, as both mathematicians, independent of each other, are the basic authors of non Euclidean geometry. Gauss mentioned to Bolyai's father, when shown the younger Bolyai's work, that he had developed such a geometry several years before, though he did not publish. While Lobachevsky created a non Euclidean geometry by negating the parallel postulate, Bolyai worked out a geometry where both the Euclidean and the hyperbolic geometry are possible depending on a parameter k. Bolyai ends his work by mentioning that it is not possible to decide through mathematical reasoning alone if the geometry of the physical universe is Euclidean or non Euclidean; this is a task for the physical sciences. Bernhard Riemann, in a famous lecture in 1854, founded the field of Riemannian geometry, discussing in particular the ideas now called manifolds, Riemannian metric, and curvature. He constructed an infinite family of non Euclidean geometries by giving a formula for a family of Riemannian metrics on the unit ball in Euclidean space. The simplest of these is called elliptic geometry and it is considered a non Euclidean geometry due to its lack of parallel lines. By formulating the geometry in terms of a curvature tensor, Riemann allowed non Euclidean geometry to apply to higher dimensions. Beltrami (1868) was the first to apply Riemann's geometry to spaces of negative curvature.

Терминология

Именно Гаусс ввёл термин "неевклидова геометрия". Он относил его к своим собственным работам, которые сегодня мы называем гиперболической геометрией или геометрией Лобачевского. Некоторые современные авторы по-прежнему используют общий термин "неевклидова геометрия" для обозначения гиперболической геометрии. Артур Кейли заметил, что расстояние между точками внутри конического сечения можно определить через логарифм и проективную функцию двойного отношения. Этот метод получил название метрики Кейли — Клейна, поскольку Феликс Клейн использовал его для описания неевклидовых геометрий в статьях 1871 и 1873 годов, а затем и в книжной форме. Метрики Кейли — Клейна предоставили рабочие модели гиперболической и эллиптической метрических геометрий, а также евклидовой геометрии. Клейн ввёл термины "гиперболический" и "эллиптический" (в своей системе он называл евклидову геометрией параболической, термин, который практически вышел из употребления). Его влияние привело к тому, что в настоящее время термин "неевклидова геометрия" обычно используется для обозначения либо "гиперболической", либо "эллиптической" геометрии. Некоторые математики предлагают расширить список геометрий, которые следует считать "неевклидовыми", различными способами. Существует множество видов геометрии, которые существенно отличаются от евклидовой, но при этом не обязательно включаются в общепринятое значение "неевклидовой геометрии", например, более общие случаи римановой геометрии.

Аксиоматические основы неевклидовой геометрии

Евклидова геометрия может быть аксиоматически описана несколькими способами. Однако первоначальная система Евклида из пяти постулатов (аксиом) не является одной из них, поскольку его доказательства опирались на несколько неявных предположений, которые также должны были быть приняты как аксиомы. Система Гильберта, состоящая из 20 аксиом, наиболее близко следует подходу Евклида и обеспечивает обоснование всех доказательств Евклида. Другие системы, использующие различные наборы неопределенных терминов, приходят к той же геометрии иными путями. Однако все подходы содержат аксиому, логически эквивалентную пятому постулату Евклида, постулату о параллельных прямых. Гильберт использует форму аксиомы Плейфера, в то время как Бирхофф, например, использует аксиому, утверждающую, что "существует пара подобных, но не конгруэнтных треугольников". В любой из этих систем, удаление единственной аксиомы, эквивалентной постулату о параллельных прямых, в любой форме, и сохранение всех остальных аксиом, приводит к абсолютной геометрии. Поскольку первые 28 предложений Евклида (в "Началах") не требуют использования постулата о параллельных прямых или чего-либо эквивалентного ему, все они являются истинными утверждениями в абсолютной геометрии. Для получения неевклидовой геометрии постулат о параллельных прямых (или его эквивалент) должен быть заменен его отрицанием. Отрицание формы аксиомы Плейфера, поскольку это сложное утверждение (существует ровно одна), может быть выполнено двумя способами: либо через данную точку будет проходить более одной прямой, параллельной данной прямой, либо через данную точку не будет проходить ни одной прямой, параллельной данной прямой. В первом случае, замена постулата о параллельных прямых (или его эквивалента) утверждением "В плоскости, данной точке P и прямой l, не проходящей через P, существуют две прямые, проходящие через P, которые не пересекают l", и сохранение всех остальных аксиом, приводит к гиперболической геометрии. Второй случай решается не столь просто. Простая замена постулата о параллельных прямых утверждением "В плоскости, данной точке P и прямой l, не проходящей через P, все прямые, проходящие через P, пересекают l", не дает непротиворечивого набора аксиом. Это следует из того, что параллельные прямые существуют в абсолютной геометрии, но данное утверждение говорит об их отсутствии. Эта проблема была известна (в другом виде) Хайяму, Саккери и Ламберту и послужила основанием для их отвержения того, что было известно как "случай тупых углов". Чтобы получить непротиворечивый набор аксиом, включающий эту аксиому об отсутствии параллельных прямых, некоторые другие аксиомы должны быть скорректированы. Эти корректировки зависят от используемой аксиоматической системы. В частности, эти изменения приводят к модификации второго постулата Евклида, из утверждения о том, что отрезки прямых могут быть продолжены бесконечно, к утверждению о том, что прямые неограниченны. Эллиптическая геометрия Римана представляется наиболее естественной геометрией, удовлетворяющей этой аксиоме.

Euclidean geometry can be axiomatically described in several ways. However, Euclid's original system of five postulates (axioms) is not one of these, as his proofs relied on several unstated assumptions that should also have been taken as axioms. Hilbert's system consisting of 20 axioms most closely follows the approach of Euclid and provides the justification for all of Euclid's proofs. Other systems, using different sets of undefined terms obtain the same geometry by different paths. All approaches, however, have an axiom that is logically equivalent to Euclid's fifth postulate, the parallel postulate. Hilbert uses the Playfair axiom form, while Birkhoff, for instance, uses the axiom that says that, "There exists a pair of similar but not congruent triangles." In any of these systems, removal of the one axiom equivalent to the parallel postulate, in whatever form it takes, and leaving all the other axioms intact, produces absolute geometry. As the first 28 propositions of Euclid (in The Elements) do not require the use of the parallel postulate or anything equivalent to it, they are all true statements in absolute geometry. To obtain a non Euclidean geometry, the parallel postulate (or its equivalent) must be replaced by its negation. Negating the Playfair's axiom form, since it is a compound statement ( there exists one and only one ), can be done in two ways:

Either there will exist more than one line through the point parallel to the given line or there will exist no lines through the point parallel to the given line. In the first case, replacing the parallel postulate (or its equivalent) with the statement "In a plane, given a point P and a line l not passing through P, there exist two lines through P, which do not meet l" and keeping all the other axioms, yields hyperbolic geometry. The second case is not dealt with as easily. Simply replacing the parallel postulate with the statement, "In a plane, given a point P and a line l not passing through P, all the lines through P meet l", does not give a consistent set of axioms. This follows since parallel lines exist in absolute geometry, but this statement says that there are no parallel lines. This problem was known (in a different guise) to Khayyam, Saccheri and Lambert and was the basis for their rejecting what was known as the "obtuse angle case". To obtain a consistent set of axioms that includes this axiom about having no parallel lines, some other axioms must be tweaked. These adjustments depend upon the axiom system used. Among others, these tweaks have the effect of modifying Euclid's second postulate from the statement that line segments can be extended indefinitely to the statement that lines are unbounded. Riemann's elliptic geometry emerges as the most natural geometry satisfying this axiom.

Модели

Модели неевклидовой геометрии — это математические модели геометрий, которые не являются евклидовыми в том смысле, что через точку, не лежащую на данной прямой l, нельзя провести ровно одну параллельную ей прямую. В моделях гиперболической геометрии, напротив, через точку A можно провести бесконечно много прямых, параллельных l, а в моделях эллиптической геометрии параллельных прямых не существует. (Подробнее см. статьи о гиперболической и эллиптической геометрии.) Евклидова геометрия моделируется нашим представлением о "плоской плоскости". Простейшей моделью эллиптической геометрии является сфера, где прямыми являются "большие круги" (например, экватор или меридианы на глобусе), а противоположные точки отождествляются (считаются одной и той же). Псевдосфера обладает необходимой кривизной для моделирования гиперболической геометрии.

Эллиптическая геометрия

Простейшей моделью для эллиптической геометрии является сфера, где линии — это "большие круги" (например, экватор или меридианы на глобусе), а точки, диаметрально противоположные друг другу (называемые антиподальными точками), отождествляются (считаются одной и той же точкой). Это также одна из стандартных моделей вещественной проективной плоскости. Отличие состоит в том, что как модель эллиптической геометрии вводится метрика, позволяющая измерять длины и углы, а как модель проективной плоскости такой метрики не существует. В эллиптической модели для любой заданной прямой l и точки A, не лежащей на l, все прямые, проходящие через A, пересекают l.

Гиперболическая геометрия

Даже после работ Лобачевского, Гаусса и Бояи оставался вопрос: "Существует ли модель для гиперболической геометрии?". Ответ на вопрос о модели гиперболической геометрии дал Эухенио Белтрами в 1868 году, впервые показав, что поверхность, называемая псевдосферой, обладает необходимой кривизной для моделирования части гиперболического пространства, а во второй статье в том же году он определил модель Клейна, которая моделирует всё гиперболическое пространство, и использовал её для доказательства того, что евклидова и гиперболическая геометрии равносогласованы, то есть гиперболическая геометрия логически непротиворечива тогда и только тогда, когда евклидова геометрия. (Обратное утверждение следует из модели горосферы евклидовой геометрии.) В гиперболической модели, в рамках двухмерной плоскости, для любой заданной прямой l и точки A, не лежащей на l, существует бесконечно много прямых, проходящих через A, которые не пересекают l.

В этих моделях понятия неевклидовых геометрий представлены евклидовыми объектами в евклидовом пространстве. Это приводит к искажению восприятия, при котором прямые неевклидовой геометрии изображаются евклидовыми кривыми, которые визуально изгибаются. Это "изгибание" не является свойством неевклидовых прямых, а лишь артефакт их представления.

Трехмерная неевклидова геометрия

В трех измерениях существует восемь моделей геометрий. Есть евклидова, эллиптическая и гиперболическая геометрии, как и в двухмерном случае; смешанные геометрии, которые являются частично евклидовыми и частично гиперболическими или сферическими; искривлённые варианты смешанных геометрий; и одна необычная геометрия, которая полностью анизотропна (то есть, поведение различается для каждого направления).

Важность

До того, как модели неевклидовой плоскости были представлены Белтрами, Клейном и Пуанкаре, геометрия Евклида оставалась не подвергавшейся сомнению математической моделью пространства. Более того, поскольку суть предмета в синтетической геометрии являлась главным воплощением рациональности, евклидовская точка зрения представляла собой абсолютный авторитет. Открытие неевклидовых геометрий имело эффект волны, распространившийся далеко за пределы математики и науки. Философ Иммануил Кант придавал особое значение геометрии в своем понимании человеческого познания, рассматривая ее как главный пример синтеческого априорного знания – не полученного из чувств и не выведенного логически, а являющегося истиной, с которой мы рождаемся. К сожалению для Канта, его представление об этой неизменно истинной геометрии было евклидовым. Теология также подверглась влиянию перехода от абсолютной истины к относительной, в понимании связи математики с окружающим миром, что стало результатом этого парадигмального сдвига. Неевклидова геометрия является примером научной революции в истории науки, в ходе которой математики и ученые изменили свой взгляд на свои дисциплины. Некоторые геометры называли Лобачевского «Коперником геометрии» из-за революционного характера его работ. Существование неевклидовых геометрий оказало значительное влияние на интеллектуальную жизнь викторианской Англии и, в частности, стало одним из ключевых факторов, вызвавших пересмотр преподавания геометрии на основе «Начал» Евклида. Этот вопрос учебной программы активно обсуждался в то время и даже стал темой книги «Евклид и его современные соперники», написанной Чарльзом Лютвиджем Доджсоном (1832–1898), более известным как Льюис Кэрролл, автор «Алисы в Стране чудес».

Художественная литература

Неевклидова геометрия часто встречается в произведениях научной фантастики и фэнтези. В 1895 году Г. Дж. Уэллс опубликовал рассказ "Замечательный случай с глазами Дэвидсона". Чтобы оценить эту историю, необходимо понимать, как антиподальные точки на сфере идентифицируются в модели эллиптической плоскости. В рассказе, во время грозы, Сидни Дэвидсон видит "волны и поразительно аккуратную шхуну", работая в электрической лаборатории в Техническом колледже Харлоу. В конце рассказа Дэвидсон доказывает, что видел H. M. S. Fulmar у острова Антиподов. Неевклидова геометрия иногда связывается с влиянием писателя-хоррорщика ХХ века Г. Ф. Лавкрафта. В его произведениях многие неестественные вещи подчиняются своим собственным уникальным законам геометрии: в мифологии Ктулху Лавкрафта затонувший город Р’льех характеризуется своей неевклидовой геометрией. Это подразумевается как побочный эффект нарушения естественных законов этой вселенной, а не просто использования альтернативной геометрической модели, поскольку сама ее фундаментальная неправильность, как говорят, способна свести с ума тех, кто на нее смотрит. Главный герой книги Роберта Пирсига "Дзен и искусство ухода за мотоциклом" неоднократно упоминает риманову геометрию. В романе "Братья Карамазовы" Достоевский обсуждает неевклидову геометрию через своего персонажа Ивана. Роман Кристофера Приста "Перевернутый мир" описывает борьбу за выживание на планете в форме вращающейся псевдосферы. В книге Роберта Хайнлайна "Число зверя" используется неевклидова геометрия для объяснения мгновенного перемещения в пространстве и времени, а также между параллельными и вымышленными вселенными. HyperRogue от Zeno Rogue – это roguelike игра, действие которой происходит на гиперболической плоскости, позволяющая игроку ощутить многие свойства этой геометрии. Многие механики, квесты и локации тесно связаны с особенностями гиперболической геометрии. В научно-фантастическом сеттинге Renegade Legion для военной игры, ролевой игры и художественной литературы от FASA сверхсветовые путешествия и связь возможны благодаря использованию многомерной неевклидовой геометрии Хсие Хо, опубликованной где-то в середине XXII века. В "Плоскоземье" Иана Стюарта главный герой Виктория Лайн посещает всевозможные неевклидовы миры.

Non Euclidean geometry often makes appearances in works of science fiction and fantasy. In 1895, H. G. Wells published the short story "The Remarkable Case of Davidson's Eyes". To appreciate this story one should know how antipodal points on a sphere are identified in a model of the elliptic plane. In the story, in the midst of a thunderstorm, Sidney Davidson sees "Waves and a remarkably neat schooner" while working in an electrical laboratory at Harlow Technical College. At the story's close, Davidson proves to have witnessed H. M. S. Fulmar off Antipodes Island. Non Euclidean geometry is sometimes connected with the influence of the 20th century horror fiction writer H. P. Lovecraft. In his works, many unnatural things follow their own unique laws of geometry: in Lovecraft's Cthulhu Mythos, the sunken city of R'lyeh is characterized by its non Euclidean geometry. It is heavily implied this is achieved as a side effect of not following the natural laws of this universe rather than simply using an alternate geometric model, as the sheer innate wrongness of it is said to be capable of driving those who look upon it insane. The main character in Robert Pirsig's Zen and the Art of Motorcycle Maintenance mentioned Riemannian geometry on multiple occasions. In The Brothers Karamazov, Dostoevsky discusses non Euclidean geometry through his character Ivan. Christopher Priest's novel Inverted World describes the struggle of living on a planet with the form of a rotating pseudosphere. Robert Heinlein's The Number of the Beast utilizes non Euclidean geometry to explain instantaneous transport through space and time and between parallel and fictional universes. Zeno Rogue's HyperRogue is a roguelike game set on the hyperbolic plane, allowing the player to experience many properties of this geometry. Many mechanics, quests, and locations are strongly dependent on the features of hyperbolic geometry. In the Renegade Legion science fiction setting for FASA's wargame, role playing game and fiction, faster than light travel and communications is possible through the use of Hsieh Ho's Polydimensional Non Euclidean Geometry, published sometime in the middle of the 22nd century. In Ian Stewart's Flatterland the protagonist Victoria Line visits all kinds of non Euclidean worlds.