Методы определения положения точек

Введение

Метод задания положения точек

В геометрии координатная система — это система, использующая одно или несколько чисел, называемых координатами, для однозначного определения положения точек или других геометрических элементов на многообразии, таком как евклидово пространство. Порядок координат существенен, и они могут быть обозначены как по их позиции в упорядоченном наборе, так и буквой, например, "координата x". В элементарной математике координаты обычно рассматриваются как действительные числа, но они могут быть комплексными числами или элементами более абстрактной системы, такой как коммутативное кольцо. Использование координатной системы позволяет преобразовывать геометрические задачи в задачи, связанные с числами, и наоборот; это является основой аналитической геометрии.

Числовая строка

Простейшим примером системы координат является отождествление точек на прямой с действительными числами посредством числовой прямой. В этой системе на заданной прямой выбирается произвольная точка O (начало координат). Координата точки P определяется как знаковое расстояние от O до P, где знаковое расстояние – это расстояние, принимаемое как положительное или отрицательное в зависимости от того, по какую сторону от O расположена точка P. Каждой точке соответствует уникальная координата, и каждому действительному числу соответствует уникальная точка.

Картезианская система координат

Прототипическим примером системы координат является декартова система координат. На плоскости выбираются две перпендикулярные прямые, а координаты точки принимаются равными расстояниям до этих прямых с учетом знака. В трех измерениях выбираются три взаимно ортогональные плоскости, а три координаты точки – это расстояния до каждой из плоскостей с учетом знака. Это можно обобщить для создания n координат для любой точки в n-мерном евклидовом пространстве. В зависимости от направления и порядка координатных осей, трехмерная система может быть правосторонней или левосторонней.

Полярная система координат

Другая распространенная система координат для плоскости — полярная система координат. Выбирается точка в качестве полюса, а луч, исходящий из этой точки, принимается за полярную ось. Для заданного угла θ существует единственная прямая, проходящая через полюс, угол между которой и полярной осью равен θ (измеряется против часовой стрелки от оси до прямой). Затем на этой прямой существует единственная точка, расстояние от которой до полюса равно r для заданного числа r. Для каждой пары координат (r, θ) соответствует единственная точка, но каждая точка может быть представлена многими парами координат. Например, (r, θ), (r, θ+2π) и (−r, θ+π) — все это полярные координаты одной и той же точки. Полюс представляется как (0, θ) для любого значения θ.

Цилиндрические и сферические системы координат

Существует два распространенных метода расширения полярной системы координат на трехмерное пространство. В цилиндрической системе координат к полярным координатам r и θ добавляется координата z, имеющая такое же значение, как и в декартовой системе координат, в результате чего получается тройка (r, θ, z). Сферические координаты идут еще дальше, преобразуя пару цилиндрических координат (r, z) в сферические координаты (ρ, φ), что дает тройку (ρ, θ, φ).

Однородная система координат

Точка на плоскости может быть представлена в однородных координатах тройкой (x, y, z), где x/z и y/z являются декартовыми координатами этой точки. Это вводит "лишнюю" координату, так как для определения точки на плоскости достаточно двух координат, но эта система удобна тем, что позволяет представить любую точку на проективной плоскости без обращения к бесконечности. В общем случае, в однородной системе координат важны только отношения между координатами, а не их абсолютные значения.

Координаты геометрических объектов

Системы координат часто используются для определения положения точки, но они также могут использоваться для определения положения более сложных фигур, таких как линии, плоскости, круги или сферы. Например, координаты Плюккера используются для определения положения линии в пространстве. При необходимости тип описываемой фигуры используется для различения типа системы координат, например, термин "координаты линии" используется для любой системы координат, определяющей положение линии. Может оказаться, что системы координат для двух различных множеств геометрических фигур эквивалентны с точки зрения их анализа. Примером этого служат системы однородных координат для точек и линий в проективной плоскости. В таком случае обе системы называются дуальными. Дуальные системы обладают свойством, позволяющим переносить результаты, полученные в одной системе, в другую, поскольку эти результаты являются лишь различными интерпретациями одного и того же аналитического результата; это известно как принцип двойственности.

Координаты линий/кривых и плоскостей/поверхностей

Если в системе координат одна из координат точки изменяется, а остальные остаются постоянными, то полученная кривая называется кривой координат. Если кривая координат является прямой линией, она называется координатной линией. Координатная система, для которой некоторые кривые координат не являются прямыми линиями, называется криволинейной системой координат. Координатная линия, все координаты которой равны нулю, называется координатной осью. В декартовой системе координат все кривые координат являются прямыми линиями, и, следовательно, число координатных осей равно числу координат. Более того, координатные оси попарно ортогональны. Полярная система координат – это криволинейная система, в которой кривые координат являются прямыми линиями или окружностями. Однако одна из кривых координат вырождается в единственную точку – начало координат, которое часто рассматривается как окружность радиуса ноль. Аналогично, сферические и цилиндрические системы координат имеют кривые координат, которые являются прямыми линиями, окружностями или окружностями радиуса ноль. В качестве кривых координат могут выступать многие кривые. Например, кривые координат параболических координат – это параболы. В трехмерном пространстве, если одна координата фиксируется, а две другие могут изменяться, то полученная поверхность называется координатной поверхностью. Например, координатные поверхности, получаемые при фиксировании ρ в сферической системе координат, являются сферами с центром в начале координат. В трехмерном пространстве пересечение двух координатных поверхностей является кривой координат. В декартовой системе координат можно говорить о координатных плоскостях. Аналогично, координатные гиперповерхности – это (n − 1)-мерные пространства, возникающие при фиксировании одной координаты в n-мерной системе координат.

Карты координат

Концепция координатной карты, или координатной диаграммы, является центральной в теории многообразий. Координатная карта – это, по сути, система координат для подмножества заданного пространства, обладающая свойством, что каждой точке соответствует ровно один набор координат. Более точно, координатная карта представляет собой гомеоморфизм из открытого подмножества пространства X в открытое подмножество Rn. Часто невозможно задать единую согласованную систему координат для всего пространства. В этом случае набор координатных карт объединяется для формирования атласа, покрывающего пространство. Пространство, снабжённое таким атласом, называется многообразием, и на многообразии можно определить дополнительную структуру, если эта структура согласована в областях перекрытия координатных карт. Например, дифференцируемое многообразие – это многообразие, в котором переход между координатами, задаваемыми разными координатным картами, всегда является дифференцируемой функцией.

Ориентационные координаты

В геометрии и кинематике системы координат используются для описания (линейного) положения точек и углового положения осей, плоскостей и жестких тел. В последнем случае ориентация второй (обычно называемой "местной") системы координат, закрепленной на узле, определяется относительно первой (обычно называемой "глобальной" или "мировой" системы координат). Например, ориентацию жесткого тела можно представить матрицей ориентации, которая содержит в своих трех столбцах декартовы координаты трех точек. Эти точки используются для определения ориентации осей местной системы; они являются концами трех единичных векторов, направленных вдоль этих осей.