Введение
Фиксированная точка теории поля при высоких энергиях. В квантовой теории поля можно рассчитать эффективную или бегущую константу связи, определяющую силу взаимодействия теории, измеренную при заданном масштабе импульса. Электрический заряд является одним из примеров такой константы связи. В приближенных расчетах в ряде квантовых теорий поля, в частности, в квантовой электродинамике и теориях частицы Хиггса, бегущая связь, как представляется, становится бесконечной при конечном масштабе импульса. Это иногда называют проблемой полюса Ландау. Неизвестно, является ли возникновение этих противоречий артефактом приближения или реальной фундаментальной проблемой теории. Однако этой проблемы можно избежать, если в теории появится ультрафиолетовая (УФ) фиксированная точка. Квантовая теория поля обладает УФ фиксированной точкой, если поток группы перенормировки стремится к фиксированной точке в ультрафиолетовом пределе (то есть в пределе малых длин волн/высоких энергий). Это связано с нулями бета-функции, возникающими в уравнении Каллана — Симанзика. Аналогом этого в пределе больших длин волн/малых энергий является инфракрасная фиксированная точка.
In a quantum field theory, one may calculate an effective or running coupling constant that defines the coupling of the theory measured at a given momentum scale. One example of such a coupling constant is the electric charge. In approximate calculations in several quantum field theories, notably quantum electrodynamics and theories of the Higgs particle, the running coupling appears to become infinite at a finite momentum scale. This is sometimes called the Landau pole problem. It is not known whether the appearance of these inconsistencies is an artifact of the approximation, or a real fundamental problem in the theory. However, the problem can be avoided if an ultraviolet or UV fixed point appears in the theory. A quantum field theory has a UV fixed point if its renormalization group flow approaches a fixed point in the ultraviolet (i. e. short length scale/large energy) limit. This is related to zeroes of the beta function appearing in the Callan–Symanzik equation. The large length scale/small energy limit counterpart is the infrared fixed point.
Специальные случаи и подробности
Среди прочего, это означает, что теория, обладающая ультрафиолетовой фиксированной точкой, может не являться эффективной теорией поля, поскольку она хорошо определена в произвольно малых масштабах расстояний. В самой УФ-фиксированной точке теория может вести себя как конформная теория поля. Обратное утверждение, что любая квантовая теория поля, которая действительна на всех масштабах расстояний (то есть не является эффективной теорией поля), имеет УФ-фиксированную точку, неверно. Например, теория каскадных калибровочных полей. Некоммутативные квантовые теории поля имеют УФ-отсечку, даже если они не являются эффективными теориями поля. Физики различают тривиальные и нетривиальные фиксированные точки. Если УФ-фиксированная точка тривиальна (обычно известная как гауссова фиксированная точка), то теория считается асимптотически свободной. С другой стороны, сценарий, в котором в УФ-пределе достигается негауссовская (то есть нетривиальная) фиксированная точка, называется асимптотической безопасностью. Асимптотически безопасные теории могут быть хорошо определены на всех масштабах, несмотря на то, что они не перенормируемы в смысле теории возмущений (согласно классическим размерностям масштаба).
Асимптотический сценарий безопасности в квантовой гравитации
Стивен Вайнберг предположил, что проблемные ультрафиолетовые расходимости, возникающие в квантовых теориях гравитации, могут быть устранены посредством нетривиальной ультрафиолетовой фиксированной точки. Такая асимптотически безопасная теория является перенормируемой в непертурбативном смысле, и благодаря фиксированной точке физические величины лишены расходимостей. На данный момент общего доказательства существования фиксированной точки все еще нет, однако накапливается все больше свидетельств в пользу этого сценария.