Введение
Характеристика искажений в проекциях карт В картографии индикатор Тиззо (Tissot's indicatrix, эллипс Тиззо, эллипс Тиззо, эллипс искажений) (множественное число: "Tissot's indicatrices") - математическое изобретение, представленное французским математиком Николасом Августом Тиззо в 1859 и 1871 годах для характеристики локальных искажений из-за проекции карт. Это геометрия, которая возникает в результате проектирования круга бесконечно малого радиуса из изогнутой геометрической модели, такой как глобус, на карту. Тиссо доказал, что полученная диаграмма представляет собой эллипс, оси которого указывают два основных направления, вдоль которых масштаб является максимальным и минимальным в этой точке на карте. Однозначная индикаторная матрица описывает искажение в одной точке. Поскольку искажение варьируется по карте, в целом индикаторы Tissot размещаются по карте, чтобы проиллюстрировать пространственное изменение искажения. Общая схема помещает их на каждом пересечении отображаемых меридианов и параллелей. Эти схемы важны при изучении проекций карт, как для иллюстрации искажения, так и для обеспечения основы для расчетов, которые точно представляют величину искажения в каждой точке. Поскольку все эллипсы на карте занимают одну и ту же область, искажение, навязанное проекцией карты, очевидно. Существует одно к одному соответствие между индикатором Tissot и метрическим тензором преобразования координат проекции карты.
In cartography, a Tissot's indicatrix (Tissot indicatrix, Tissot's ellipse, Tissot ellipse, ellipse of distortion) (plural: "Tissot's indicatrices") is a mathematical contrivance presented by French mathematician Nicolas Auguste Tissot in 1859 and 1871 in order to characterize local distortions due to map projection. It is the geometry that results from projecting a circle of infinitesimal radius from a curved geometric model, such as a globe, onto a map. Tissot proved that the resulting diagram is an ellipse whose axes indicate the two principal directions along which scale is maximal and minimal at that point on the map. A single indicatrix describes the distortion at a single point. Because distortion varies across a map, generally Tissot's indicatrices are placed across a map to illustrate the spatial change in distortion. A common scheme places them at each intersection of displayed meridians and parallels. These schematics are important in the study of map projections, both to illustrate distortion and to provide the basis for the calculations that represent the magnitude of distortion precisely at each point. Because all ellipses on the map occupy the same area, the distortion imposed by the map projection is evident. There is a one to one correspondence between the Tissot indicatrix and the metric tensor of the map projection coordinate conversion.
Математика
На диаграмме ниже, круг имеет единицу площади, как определено на поверхности сферы. Круг - индикатор Тессо, который возникает в результате некоторой проекции на плоскость. Линейный масштаб не сохранился в этой проекции, так как и потому что , мы знаем, что есть угловое искажение. Потому что мы знаем, что здесь есть пространственное искажение. Первоначальный круг в приведенном выше примере имел радиус 1, но при работе с индикатором Tissot, мы имеем дело с эллипсами бесконечно малого радиуса. Даже если радиусы исходного круга и его эллипса искажения будут бесконечно малыми, используя дифференциальное исчисление, соотношения между ними все равно могут быть значимо рассчитаны. Например, если отношение между радиусом входного круга и проекционным кругом равно 1, то индикатрикс рисуется как круг с площадью 1. Размер, который индикатор получает на карте, произволен: они все масштабированы одним и тем же фактором, так что их размеры пропорциональны друг другу. Как и на диаграмме, оси вдоль параллели и вдоль меридиана могут претерпевать изменение длины и вращение во время проекции. Для данной точки в литературе принято представлять масштаб вдоль меридиана как и масштаб вдоль параллели как Если проекция не является конформной, все углы, кроме подтянутого полубольшой оси и полумелкой оси эллипса, могут также измениться. Определенный угол изменится больше всего, и значение этого максимального изменения известно как угловая деформация, обозначаемая как В общем, какой угол и как он ориентирован, не играют заметной роли в анализе искажения; значительна величина изменения. Значения , , и могут быть вычислены следующим образом: где и являются координатами широты и долготы точки, является радиусом земного шара, и и являются координатами точки после проекции. В результате для любой данной точки, и являются максимальными и минимальными масштабными факторами, аналогичными полубольшой и полумаленькой оси на диаграмме; представляет собой величину инфляции или дефляции в области, и представляет максимальное угловое искажение. Для конформных проекций, таких как проекция Меркатора, и , такие, что в каждой точке эллипс перерождается в круг, при этом радиус равен масштабному фактору. Для равной площади, такой как синусоидальная проекция, полубольшая ось эллипса является обратной полумалой оси, так что каждый эллипс имеет равную площадь, даже если их эксцентриситеты варьируются. Для произвольных проекций форма и площадь эллипсов в каждой точке в значительной степени независимы друг от друга.
where and are the latitude and longitude coordinates of a point, is the radius of the globe, and and are the point's resulting coordinates after projection. In the result for any given point, and are the maximum and minimum scale factors, analogous to the semimajor and semiminor axes in the diagram; represents the amount of inflation or deflation in area, and represents the maximum angular distortion. For conformal projections such as the Mercator projection, and , such that at each point the ellipse degenerates into a circle, with the radius being equal to the scale factor. For equal area such as the sinusoidal projection, the semi major axis of the ellipse is the reciprocal of the semi minor axis, such that every ellipse has equal area even as their eccentricities vary. For arbitrary projections, the shape and the area of the ellipses at each point are largely independent from one another.
Альтернативное выведение для численного вычисления
Другой способ понять и вывести индикатрику Тиссо - через дифференциальную геометрию поверхностей. Этот подход хорошо подходит для современных численных методов, поскольку параметры индикатрики Тиссо могут быть вычислены с использованием декомпозиции единственного значения (SVD) и приближения центральной разницы.