Кіріспе
Карта проекцияларындағы бұрмалауды сипаттау Картографияда, Тиссоның индикатрисі (Tissot indicatrix, Tissot's ellipse, Tissot ellipse, ellipse of distortion) (көпшілік саны: "Tissot's indicatrices") - карта проекциясына байланысты жергілікті бұрмалауларды сипаттау үшін француз математигі Николя Август Тиссо 1859 және 1871 жылдары ұсынған математикалық құрылғы. Бұл геометрия, картаға шар сияқты қисық геометриялық модельден радиусы шексіз кішкентай шеңберді жобалаудан туындайтын геометрия. Тиссо алынған диаграмманың осьтері картадағы сол нүктеде масштабтың ең үлкені мен ең кішігі екі негізгі бағытты көрсететін эллипс екенін дәлелдеді. Бір индикатор бір нүктедегі бұрмалауды сипаттайды. Картада бұрмалану әр түрлі болғандықтан, әдетте, Тизсоның индикаторлары картада бұрмаланудың кеңістіктегі өзгеруін көрсету үшін орналастырылады. Жалпы схема оларды көрсетілген меридиандар мен параллельдердің қиылысында орналастырады. Бұл сызбалар карта проекцияларын зерттеуде маңызды, бұрмалауды көрсету үшін де, әр нүктеде бұрмалаудың дәлдігін көрсететін есептеулердің негізін қамтамасыз ету үшін де. Картадағы барлық эллипс бір аумақты алып жатқандықтан, карта проекциясынан туындаған бұрмалау анық көрінеді. Тизот индикаторы мен карта проекциясының координаттарын түрлендірудің метрикалық тензоры арасында бір-бір сәйкестік бар.
In cartography, a Tissot's indicatrix (Tissot indicatrix, Tissot's ellipse, Tissot ellipse, ellipse of distortion) (plural: "Tissot's indicatrices") is a mathematical contrivance presented by French mathematician Nicolas Auguste Tissot in 1859 and 1871 in order to characterize local distortions due to map projection. It is the geometry that results from projecting a circle of infinitesimal radius from a curved geometric model, such as a globe, onto a map. Tissot proved that the resulting diagram is an ellipse whose axes indicate the two principal directions along which scale is maximal and minimal at that point on the map. A single indicatrix describes the distortion at a single point. Because distortion varies across a map, generally Tissot's indicatrices are placed across a map to illustrate the spatial change in distortion. A common scheme places them at each intersection of displayed meridians and parallels. These schematics are important in the study of map projections, both to illustrate distortion and to provide the basis for the calculations that represent the magnitude of distortion precisely at each point. Because all ellipses on the map occupy the same area, the distortion imposed by the map projection is evident. There is a one to one correspondence between the Tissot indicatrix and the metric tensor of the map projection coordinate conversion.
Математика
Төмендегі диаграммада шеңбер сфераның бетінде анықталған бірлік ауданына ие. Дөңгелек - Tissot индикаторлары, олар жазықтықтағы проекциядан пайда болады. Бұл проекцияда сызықтық масштаб сақталмаған, өйткені және , бұрыштық бұрмалау бар екенін білеміз. Себебі, біз аймақтық бұрмалау бар екенін білеміз. Жоғарыдағы мысалдағы бастапқы шеңбердің радиусы 1 болды, бірақ Тизот индикаторларымен жұмыс істегенде, адам шексіз радиусы бар эллипспен жұмыс істейді. Түпнұсқа шеңбердің радиусы мен оның бұрмалану эллипсісі барлығы шексіз кіші болса да, дифференциалдық есептеуді қолдану арқылы олардың арасындағы қатынастарды әлі де мәнді есептеуге болады. Мысалы, егер кіріс шеңберінің радиусы мен жобаланған шеңбер арасындағы қатынас 1-ге тең болса, онда индикатор 1-ге тең шеңбер ретінде тартылады. Картада индикатордың түсірілген өлшемі кездейсоқ: олардың барлығы бірдей өлшеммен өлшенді, сондықтан олардың өлшемі бір-біріне пропорционалды. Диаграммадағыдай, параллельді және меридианды бойлай орналасқан осьтер проекция кезінде ұзындығы мен айналуы өзгеруі мүмкін. Берілген нүкте үшін әдебиетте меридиан бойымен масштабты және параллель бойымен масштабты бейнелеу кең таралған. Егер проекция конформды болмаса, эллипстің жартылай үлкен осьтері мен жартылай кіші осьтерімен субтендтелгеннен басқа барлық бұрыштар да өзгеруі мүмкін. Белгілі бір бұрыш ең көп өзгерді, ал осы ең үлкен өзгерістің мәні бұрыштық деформация деп аталады, ол: Жалпы, бұрыш қандай және оның бағыты бұрмалануды талдауда маңызды орын алмайды; бұл өзгеріс көлемі маңызды. , , және мәндері келесідей есептеледі: мұндағы және нүктелердің ендік және бойлық координаттары, бұл жер шарының радиусы, ал және - проекциядан кейінгі нүктелердің пайда болған координаттары. Кез келген берілген нүкте үшін нәтижеде және диаграммадағы жартылай үлкен және жартылай кіші осьтерге ұқсас ең үлкен және ең кіші масштабтық факторлар; ауданындағы инфляция немесе дефляция мөлшерін білдіреді және ең үлкен бұрыштық бұрмалауды білдіреді. Меркатор проекциясы және , сияқты конформальды проекциялар үшін, әр нүктеде эллипс шеңберге айналады, ал радиус масштаб факторына тең болады. Синусоидты проекция сияқты тең ауданы үшін эллипстің жартылай үлкен осі жартылай кіші осының керісі болып табылады, сондықтан әрбір эллипстің экцентриктігі әр түрлі болғанымен, оның ауданы бірдей болады. Кездейсоқ проекциялар үшін эллипстердің әр нүктедегі пішіні мен ауданы бір-бірінен тәуелсіз.
where and are the latitude and longitude coordinates of a point, is the radius of the globe, and and are the point's resulting coordinates after projection. In the result for any given point, and are the maximum and minimum scale factors, analogous to the semimajor and semiminor axes in the diagram; represents the amount of inflation or deflation in area, and represents the maximum angular distortion. For conformal projections such as the Mercator projection, and , such that at each point the ellipse degenerates into a circle, with the radius being equal to the scale factor. For equal area such as the sinusoidal projection, the semi major axis of the ellipse is the reciprocal of the semi minor axis, such that every ellipse has equal area even as their eccentricities vary. For arbitrary projections, the shape and the area of the ellipses at each point are largely independent from one another.
Сандық есептеу үшін баламалы туынды
Тизот индикаторын түсінудің және алудың тағы бір жолы - беттердің дифференциалдық геометриясы арқылы. Бұл тәсіл қазіргі заманғы сандық әдістерге жақсы сәйкес келеді, өйткені Tissot индикаторларының параметрлерін бірлік мәннің ыдырауын (SVD) және орталық айырмашылықтың шамасын пайдалану арқылы есептеуге болады.