Введение
Матрица, которая, квадратированная, равна самой себе В линейной алгебре, идемпотентная матрица - это матрица, которая при умножении на себя дает саму себя. То есть матрица является идемпотентной, если и только если для того, чтобы это произведение было определено, оно обязательно должно быть квадратной матрицей. С этой точки зрения, идемпотентные матрицы являются идемпотентными элементами матричных колец.
In linear algebra, an idempotent matrix is a matrix which, when multiplied by itself, yields itself. That is, the matrix is idempotent if and only if For this product to be defined, must necessarily be a square matrix. Viewed this way, idempotent matrices are idempotent elements of matrix rings.
Однородность и регулярность
Единственная не-одиночная идемопотентная матрица - это тождественная матрица; то есть, если не-тождественная матрица является идемопотентной, ее количество независимых строк (и столбцов) меньше, чем ее количество строк (и столбцов). Это можно увидеть, если написать , предположив, что A имеет полный ранг (не является единственным числом), и умножить на получение Когда одинаковопотентная матрица вычитается из матрицы тождества, результат также одинаковопотентентен. Это верно, поскольку если матрица A является идемпотентной, то для всех положительных целых чисел n, это может быть показано с помощью доказательства индукцией. Очевидно, что у нас есть результат для , как Предположим, что Тогда, , так как А является идемпотентом. Следовательно, по принципу индукции, результат следует.
When an idempotent matrix is subtracted from the identity matrix, the result is also idempotent. This holds since
If a matrix A is idempotent then for all positive integers n, This can be shown using proof by induction. Clearly we have the result for , as Suppose that Then, , since A is idempotent. Hence by the principle of induction, the result follows.
Собственные ценности
Идемопотентная матрица всегда диагонализуема. Его собственные значения равны 0 или 1: если является ненулевым собственным вектором некоторой идемпотентной матрицы и связанной с ней собственной стоимости, то это означает, что детерминанта идемпотентной матрицы всегда равна 0 или 1. Как указано выше, если детерминанта равна одному, матрица является инвертируемой и, следовательно, является матрицей тождества.
Следы
Следы равнопотентной матрицы сумма элементов на её главной диагонали равна рангу матрицы и, таким образом, всегда является целым числом. Это обеспечивает простой способ вычисления ранга или, альтернативно, простой способ определения следа матрицы, элементы которой не известны конкретно (что полезно в статистике, например, для установления степени предвзятости при использовании отклонения выборки в качестве оценки отклонения популяции).
Отношения между идемпотентными матрицами
В регрессионном анализе матрица, как известно, производит остаточные значения из регрессии вектора зависимых переменных на матрице ковариатов (см. раздел "Применения"). Теперь, давайте будем матрицей, сформированной из подмножества столбцов , и давайте легко показать, что оба и одинаково потенционны, но несколько удивительным фактом является то, что это потому, что , или другими словами, остатки от регрессии столбцов on равны 0, так как могут быть идеально интерполированы, поскольку это подмножество (прямой подменой также легко показать это). Это приводит к двум другим важным результатам: один из них - симметричный и идемпотентный, а другой - ортогональный к . Эти результаты играют ключевую роль, например, в производстве теста F. Любые аналогичные матрицы идемпотентной матрицы также идемпотентны. Идемпотенция сохраняется при изменении основы. Это можно показать путем умножения преобразованной матрицы на то, что она идемпотентна: .