Введение
Изоморфизм проективных пространств в геометрии – математическое понятие.
В проективной геометрии гомография – это изоморфизм проективных пространств, индуцированный изоморфизмом векторных пространств, из которых выводятся проективные пространства. Это биекция, отображающая прямые в прямые, и, следовательно, коллинеация. В общем случае, некоторые коллинеации не являются гомографиями, но фундаментальная теорема проективной геометрии утверждает, что это не так для реальных проективных пространств размерности не менее двух. Синонимами являются проективность, проективное преобразование и проективная коллинеация. Исторически гомографии (и проективные пространства) были введены для изучения перспективы и проекций в евклидовой геометрии, и термин «гомография», который этимологически означает примерно «подобный чертеж», восходит к тому времени. В конце XIX века были введены формальные определения проективных пространств, расширяющие евклидовы и аффинные пространства путем добавления новых точек, называемых точками на бесконечности. Термин «проективное преобразование» возник в связи с этими абстрактными построениями. Эти построения делятся на два класса, которые оказались эквивалентными. Проективное пространство можно построить как множество прямых векторного пространства над заданным полем (вышеприведенное определение основано на этой версии); это построение облегчает определение проективных координат и позволяет использовать инструменты линейной алгебры для изучения гомографий. Альтернативный подход заключается в определении проективного пространства через набор аксиом, которые явно не включают какое-либо поле (инцидентная геометрия, см. также синтетическая геометрия); в этом контексте коллинеации легче определить, чем гомографии, а гомографии определяются как специфические коллинеации, называемые «проективными коллинеациями». Для простоты, если не указано иное, проективные пространства, рассматриваемые в этой статье, предполагаются определенными над (коммутативным) полем. Эквивалентно, предполагается, что выполняются теорема Паппа о шестиугольнике и теорема Дезарга. Большая часть результатов остается верной или может быть обобщена для проективных геометрий, для которых эти теоремы не выполняются.
the mathematical notion
In projective geometry, a homography is an isomorphism of projective spaces, induced by an isomorphism of the vector spaces from which the projective spaces derive. It is a bijection that maps lines to lines, and thus a collineation. In general, some collineations are not homographies, but the fundamental theorem of projective geometry asserts that is not so in the case of real projective spaces of dimension at least two. Synonyms include projectivity, projective transformation, and projective collineation. Historically, homographies (and projective spaces) have been introduced to study perspective and projections in Euclidean geometry, and the term homography, which, etymologically, roughly means "similar drawing", dates from this time. At the end of the 19th century, formal definitions of projective spaces were introduced, which extended Euclidean and affine spaces by the addition of new points called points at infinity. The term "projective transformation" originated in these abstract constructions. These constructions divide into two classes that have been shown to be equivalent. A projective space may be constructed as the set of the lines of a vector space over a given field (the above definition is based on this version); this construction facilitates the definition of projective coordinates and allows using the tools of linear algebra for the study of homographies. The alternative approach consists in defining the projective space through a set of axioms, which do not involve explicitly any field (incidence geometry, see also synthetic geometry); in this context, collineations are easier to define than homographies, and homographies are defined as specific collineations, thus called "projective collineations". For sake of simplicity, unless otherwise stated, the projective spaces considered in this article are supposed to be defined over a (commutative) field. Equivalently Pappus's hexagon theorem and Desargues's theorem are supposed to be true. A large part of the results remain true, or may be generalized to projective geometries for which these theorems do not hold.
Геометрическая мотивация
Исторически концепция гомографии была введена для понимания, объяснения и изучения визуальной перспективы, и, в частности, различия во внешнем виде двух плоских объектов, рассматриваемых с разных точек зрения. В трехмерном евклидовом пространстве центральная проекция из точки O (центра) на плоскость P, не содержащую O, – это отображение, которое переводит точку A в точку пересечения (если она существует) прямой OA и плоскости P. Проекция не определена, если точка A лежит в плоскости, проходящей через O и параллельной P. Понятие проективного пространства первоначально было введено путем расширения евклидова пространства, то есть добавлением точек на бесконечности, чтобы определить проекцию для каждой точки, кроме O. Если дана другая плоскость Q, не содержащая O, то ограничение вышеуказанной проекции на Q называется перспективным преобразованием (перспективностью). При этих определениях перспективное преобразование является лишь частичной функцией, но становится биекцией при расширении до проективных пространств. Поэтому это понятие обычно определяется для проективных пространств. Это понятие также легко обобщается на проективные пространства любой размерности над любым полем следующим образом: если f – перспективное преобразование из P в Q, а g – перспективное преобразование из Q в P с другим центром, то g ⋅ f является гомографией из P в себя, которая называется центральной коллинеацией, когда размерность P не меньше двух. (См. ниже и .) Изначально гомография определялась как композиция конечного числа перспективных преобразований. Это часть фундаментальной теоремы проективной геометрии (см. ниже), что это определение совпадает с более алгебраическим определением, представленным во введении и подробно описанным ниже.
If f is a perspectivity from P to Q, and g a perspectivity from Q to P, with a different center, then g ⋅ f is a homography from P to itself, which is called a central collineation, when the dimension of P is at least two. (See below and .) Originally, a homography was defined as the composition of a finite number of perspectivities. It is a part of the fundamental theorem of projective geometry (see below) that this definition coincides with the more algebraic definition sketched in the introduction and detailed below.
Гомографии проективной линии
Проективная прямая над полем K может быть отождествлена с объединением K и точки, называемой "точкой на бесконечности" и обозначаемой ∞ (см. Проективная прямая). При таком представлении проективной прямой гомографии являются отображениями, которые называются гомографическими функциями или линейными дробно-рациональными преобразованиями. В случае комплексной проективной прямой, которую можно отождествить со сферой Римана, гомографии называются преобразованиями Мёбиуса. Они точно соответствуют тем биекциям сферы Римана, сохраняющим ориентацию и являющимся конформными. В изучении коллинеаций случай проективных прямых является особым из-за малой размерности. Когда прямая рассматривается как изолированное проективное пространство, любая перестановка точек проективной прямой является коллинеацией, поскольку любое множество точек коллинеарно. Однако, если проективная прямая вложена в проективное пространство большей размерности, геометрическая структура этого пространства может быть использована для наложения геометрической структуры на прямую. Таким образом, в синтетической геометрии рассматриваемые гомографии и коллинеации проективной прямой – это те, которые получаются как ограничения на прямую коллинеаций и гомографий пространств более высокой размерности. Это означает, что фундаментальная теорема проективной геометрии (см. ниже) остаётся справедливой в одномерном случае. Гомография проективной прямой также может быть корректно определена требованием сохранения двойного отношения.
which are called homographic functions or linear fractional transformations. In the case of the complex projective line, which can be identified with the Riemann sphere, the homographies are called Möbius transformations. These correspond precisely with those bijections of the Riemann sphere that preserve orientation and are conformal. In the study of collineations, the case of projective lines is special due to the small dimension. When the line is viewed as a projective space in isolation, any permutation of the points of a projective line is a collineation, since every set of points are collinear. However, if the projective line is embedded in a higher dimensional projective space, the geometric structure of that space can be used to impose a geometric structure on the line. Thus, in synthetic geometry, the homographies and the collineations of the projective line that are considered are those obtained by restrictions to the line of collineations and homographies of spaces of higher dimension. This means that the fundamental theorem of projective geometry (see below) remains valid in the one dimensional setting. A homography of a projective line may also be properly defined by insisting that the mapping preserves cross ratios.
Проективная рама и координаты
Проективная рама или проективная основа проективного пространства размерности n – это упорядоченное множество из n + 2 точек, таких что ни одна гиперплоскость не содержит n + 1 из них. Проективную раму иногда называют симплексом, хотя симплекс в пространстве размерности n имеет не более n + 1 вершин. В этом разделе рассматриваются проективные пространства над коммутативным полем K, хотя большинство результатов можно обобщить на проективные пространства над полем делений. Пусть P(V) – проективное пространство размерности n, где V – K-векторное пространство размерности n + 1, а p – каноническая проекция, отображающая ненулевой вектор в векторную прямую, содержащую его. Для каждой рамы P(V) существует базис V, такой что рама задается этим базисом, и этот базис определен с точностью до умножения всех его элементов на один и тот же ненулевой элемент из K. И наоборот, если e – базис V, то он определяет раму P(V). Следовательно, для любых двух рам существует ровно одна гомография, отображающая первую на вторую. В частности, единственная гомография, фиксирующая точки рамы, – это тождественное отображение. Этот результат гораздо сложнее в синтетической геометрии (где проективные пространства определяются через аксиомы). Его иногда называют первой фундаментальной теоремой проективной геометрии. Каждая рама позволяет определить проективные координаты, также известные как однородные координаты: каждая точка может быть записана как p(v); проективные координаты точки p(v) относительно этой рамы – это координаты вектора v в базисе e. Нетрудно проверить, что изменение базиса e и вектора v, не меняющее раму и точку p(v), приводит к умножению проективных координат на один и тот же ненулевой элемент из K.
It follows that, given two frames, there is exactly one homography mapping the first one onto the second one. In particular, the only homography fixing the points of a frame is the identity map. This result is much more difficult in synthetic geometry (where projective spaces are defined through axioms). It is sometimes called the first fundamental theorem of projective geometry. Every frame allows to define projective coordinates, also known as homogeneous coordinates: every point may be written as p(v); the projective coordinates of p(v) on this frame are the coordinates of v on the base It is not difficult to verify that changing the e and v, without changing the frame nor p(v), results in multiplying the projective coordinates by the same nonzero element of K.
The projective space has a canonical frame consisting of the image by p of the canonical basis of Kn+1 (consisting of the elements having only one nonzero entry, which is equal to 1), and (1, 1, , 1). On this basis, the homogeneous coordinates of p(v) are simply the entries (coefficients) of the tuple v. Given another projective space P(V) of the same dimension, and a frame F of it, there is one and only one homography h mapping F onto the canonical frame of The projective coordinates of a point a on the frame F are the homogeneous coordinates of h(a) on the canonical frame of .
Проективное пространство P(V) имеет каноническую раму, состоящую из образов канонического базиса K^(n+1) (состоящего из элементов, имеющих только одну ненулевую компоненту, равную 1) при проецировании p, и вектора (1, 1, ..., 1). В этом базисе однородные координаты точки p(v) – это просто компоненты (коэффициенты) вектора v. Для другого проективного пространства P(V') той же размерности и его рамы F существует ровно одна гомография h, отображающая F на каноническую раму P(V). Проективные координаты точки a относительно рамы F – это однородные координаты h(a) относительно канонической рамы P(V).
It follows that, given two frames, there is exactly one homography mapping the first one onto the second one. In particular, the only homography fixing the points of a frame is the identity map. This result is much more difficult in synthetic geometry (where projective spaces are defined through axioms). It is sometimes called the first fundamental theorem of projective geometry. Every frame allows to define projective coordinates, also known as homogeneous coordinates: every point may be written as p(v); the projective coordinates of p(v) on this frame are the coordinates of v on the base It is not difficult to verify that changing the e and v, without changing the frame nor p(v), results in multiplying the projective coordinates by the same nonzero element of K.
The projective space has a canonical frame consisting of the image by p of the canonical basis of Kn+1 (consisting of the elements having only one nonzero entry, which is equal to 1), and (1, 1, , 1). On this basis, the homogeneous coordinates of p(v) are simply the entries (coefficients) of the tuple v. Given another projective space P(V) of the same dimension, and a frame F of it, there is one and only one homography h mapping F onto the canonical frame of The projective coordinates of a point a on the frame F are the homogeneous coordinates of h(a) on the canonical frame of .
Центральные коллинеации
В вышеприведенных разделах гомографии были определены с помощью линейной алгебры. В синтетической геометрии они традиционно определяются как композиция одной или нескольких специальных гомографий, называемых центральными коллинеациями. Частью фундаментальной теоремы проективной геометрии является то, что эти два определения эквивалентны. В проективном пространстве P размерности n ≥ 2, коллинеация P – это биекция из P в P, отображающая прямые в прямые. Центральная коллинеация (традиционно они назывались перспективами, но этот термин может быть вводящим в заблуждение, поскольку имеет другое значение; см. Перспективность) – это биекция α из P в P, такая, что существует гиперплоскость H (называемая осью α), которая фиксируется точечно α (то есть α(X) = X для всех точек X в H), и точка O (называемая центром α), которая фиксируется лучево α (любая прямая, проходящая через O, отображается сама на себя α, но не обязательно точечно). Существует два типа центральных коллинеаций. Элации – это центральные коллинеации, в которых центр лежит на оси, а гомологии – те, в которых центр не лежит на оси. Центральная коллинеация однозначно определяется своим центром, своей осью и образом α(P) любой заданной точки P, отличной от центра O и не лежащей на оси. (Образ α(Q) любой другой точки Q является точкой пересечения прямой, определенной точками O и Q, и прямой, проходящей через α(P) и точку пересечения прямой, определенной точками P и Q, с осью.) Центральная коллинеация – это гомография, определяемая матрицей (n+1) × (n+1), имеющей собственное подпространство размерности n. Она является гомологией, если матрица имеет другое собственное значение и, следовательно, диагонализуема. Она является элацией, если все собственные значения равны, а матрица не диагонализуема. Геометрическое представление центральной коллинеации наиболее наглядно в проективной плоскости. Пусть дана центральная коллинеация α и прямая ℓ, не проходящая через центр O, и ее образ под α. Пусть ось α – некоторая прямая M, проходящая через точку R. Образ любой точки A на прямой ℓ под α – это точка пересечения прямой OA и прямой ℓ. Образ точки B, не лежащей на прямой ℓ, может быть построен следующим образом: пусть S = AB ∩ M, тогда… Композиция двух центральных коллинеаций, хотя в общем случае и является гомографией, не является центральной коллинеацией. Фактически, любая гомография является композицией конечного числа центральных коллинеаций. В синтетической геометрии это свойство, являющееся частью фундаментальной теории проективной геометрии, принимается за определение гомографий.
The composition of two central collineations, while still a homography in general, is not a central collineation. In fact, every homography is the composition of a finite number of central collineations. In synthetic geometry, this property, which is a part of the fundamental theory of projective geometry is taken as the definition of homographies.
Основная теорема проективной геометрии
Есть коллинеации, помимо гомографий. В частности, любой автоморфизм поля σ поля F порождает коллинеацию каждого проективного пространства над F, применяя σ ко всем однородным координатам (относительно проективного базиса) точки. Эти коллинеации называются автоморфными коллинеациями. Основная теорема проективной геометрии состоит из следующих трех теорем. Для двух проективных базисов проективного пространства P существует ровно одна гомография P, отображающая первый базис во второй. Если размерность проективного пространства P не меньше двух, то любая коллинеация P является композицией автоморфной коллинеации и гомографии. В частности, над действительными числами любая коллинеация проективного пространства размерности не меньше двух является гомографией. Каждая гомография является композицией конечного числа перспективных преобразований. В частности, если размерность рассматриваемого проективного пространства не меньше двух, то каждая гомография является композицией конечного числа центральных коллинеаций. Если проективные пространства определены аксиоматически (в синтетической геометрии), то третья часть является просто определением. С другой стороны, если проективные пространства определены с помощью линейной алгебры, то первая часть является непосредственным следствием определений. Следовательно, доказательство первой части в синтетической геометрии и доказательство третьей части в терминах линейной алгебры – фундаментальные шаги в доказательстве эквивалентности двух подходов к определению проективных пространств.
Гомографические группы
Поскольку каждая гомография имеет обратное отображение, а композиция двух гомографий является еще одной гомографией, гомографии данного проективного пространства образуют группу. Например, группа Мёбиуса является гомографической группой любой комплексной проективной прямой. Поскольку все проективные пространства одной и той же размерности над одним и тем же полем изоморфны, то же самое справедливо и для их гомографических групп. Поэтому они рассматриваются как единая группа, действующая на нескольких пространствах, и в обозначении указываются только размерность и поле, а не конкретное проективное пространство. Гомографические группы, также называемые проективными линейными группами, обозначаются PGL(n + 1, F) при действии на проективное пространство размерности n над полем F. Приведенное выше определение гомографий показывает, что PGL(n + 1, F) можно отождествить с фактор-группой GL(n + 1, F) / (F×I), где GL(n + 1, F) — общая линейная группа обратимых матриц, а F×I — группа умножений на ненулевой элемент F единичной матрицы размера (n + 1) × (n + 1). Если F является конечным полем GF(q), то гомографическая группа записывается как PGL(n, q). Например, PGL(2, 7) действует на восемь точек проективной прямой над конечным полем GF(7), в то время как PGL(2, 4), изоморфная чередующейся группе A5, является гомографической группой проективной прямой с пятью точками. Гомографическая группа PGL(n + 1, F) является подгруппой коллинеационной группы PΓL(n + 1, F) коллинеаций проективного пространства размерности n. Если точки и прямые проективного пространства рассматриваются как блок-схема, блоки которой представляют собой множества точек, лежащих на прямой, то коллинеационную группу обычно называют группой автоморфизмов схемы.
Поперечное соотношение
Поперечное отношение четырех коллинеарных точек является инвариантом относительно гомографии, что является фундаментальным для изучения гомографий линий. Три различные точки a, b и c на проективной прямой над полем F образуют проективную рамку этой прямой. Следовательно, существует единственная гомография h этой прямой, отображающая a в бесконечность, b в 0, а c в 1. Для четвертой точки на той же прямой, поперечное отношение четырех точек a, b, c и d, обозначаемое [a, b; c, d], является элементом h(d). Иными словами, если d имеет однородные координаты [k : 1] в проективной рамке (a, b, c), то 1 = [a, b; c, d] = k.