Введение

В математике функция, которая всегда возвращает то же значение, которое использовалось в качестве аргумента. В математике тождественная функция, также называемая идентическим отношением, идентическим отображением или идентическим преобразованием, — это функция, которая всегда возвращает значение, которое использовалось в качестве аргумента, без изменений. То есть, если f — тождественная функция, то равенство f(x) = x верно для всех значений x, к которым может быть применена f.

Алгебраические свойства

Если f : X → Y — любая функция, то f ∘ idX = f = idY ∘ f, где символ "∘" обозначает композицию функций. В частности, idX является нейтральным элементом моноида всех функций из X в X относительно композиции функций. Поскольку нейтральный элемент моноида единственен, можно альтернативно определить функцию идентичности на M как этот нейтральный элемент. Такое определение обобщается до понятия морфизма идентичности в теории категорий, где эндоморфизмы M не обязательно являются функциями.

Свойства

Функция тождества является линейным оператором при применении к векторным пространствам. В n-мерном векторном пространстве функция тождества представляется единичной матрицей In, независимо от выбранного базиса пространства. Функция тождества на множестве положительных целых чисел является полностью мультипликативной функцией (по сути, умножением на 1), рассматриваемой в теории чисел. В метрическом пространстве функция тождества тривиально является изометрией. Объект, не имеющий никакой симметрии, имеет в качестве своей группы симметрии тривиальную группу, содержащую только эту изометрию (тип симметрии C1). В топологическом пространстве функция тождества всегда непрерывна. Функция тождества является идемпотентной.