Введение

Математическая функция между группами, сохраняющая структуру умножения.

В математике, для двух групп (G, ∗) и (H, ·), групповой гомоморфизм из (G, ∗) в (H, ·) – это функция h : G → H такая, что для всех u и v из G выполняется:

где групповая операция в левой части уравнения – операция в G, а в правой части – операция в H.

Из этого свойства следует, что h отображает единичный элемент eG группы G в единичный элемент eH группы H,

а также отображает обратные элементы в обратные элементы, то есть:

Следовательно, можно сказать, что h "согласуется с групповой структурой". В областях математики, где рассматриваются группы, наделённые дополнительной структурой, гомоморфизм иногда означает отображение, которое уважает не только групповую структуру (как описано выше), но и дополнительную структуру. Например, гомоморфизм топологических групп часто требует непрерывности.

Интуиция

Цель определения группового гомоморфизма — создать функции, сохраняющие алгебраическую структуру. Эквивалентное определение группового гомоморфизма: функция h : G → H является групповым гомоморфизмом, если при любом a ∗ b = c выполняется h(a) ⋅ h(b) = h(c). Иными словами, группа H в некотором смысле обладает аналогичной алгебраической структурой, что и G, и гомоморфизм h эту структуру сохраняет.

Типы

Мономорфизм — групповой гомоморфизм, который является инъективным (или взаимно однозначным); то есть сохраняет различные элементы различными. Эпиморфизм — групповой гомоморфизм, который является сюръективным (или отображает на); то есть достигает каждой точки в области значений. Изоморфизм — групповой гомоморфизм, который является биективным, то есть инъективным и сюръективным. Его обратное отображение также является групповым гомоморфизмом. В этом случае группы G и H называются изоморфными; они отличаются только в обозначении своих элементов (за исключением нейтрального элемента) и идентичны во всех отношениях. То есть мы переобозначаем все элементы, кроме нейтрального. Эндоморфизм — групповой гомоморфизм h: G → G; область определения и область значений совпадают. Также называется эндоморфизмом группы G. Автоморфизм — групповой эндоморфизм, который является биективным и, следовательно, изоморфизмом. Множество всех автоморфизмов группы G, с операцией композиции функций, само образует группу, называемую группой автоморфизмов G. Оно обозначается Aut(G). Например, группа автоморфизмов (Z, +) содержит только два элемента: тождественное преобразование и умножение на −1; она изоморфна (Z/2Z, +).

Примеры

Рассмотрим циклическую группу Z = (Z/3Z, +) = ({0, 1, 2}, +) и группу целых чисел (Z, +). Отображение h : Z → Z/3Z, заданное h(u) = u mod 3, является групповым гомоморфизмом. Оно сюръективно, и его ядро состоит из всех целых чисел, делящихся на 3. Экспоненциальное отображение порождает групповой гомоморфизм из группы действительных чисел R с операцией сложения в группу ненулевых действительных чисел R* с операцией умножения. Ядро равно {0}, а образ состоит из положительных действительных чисел. Экспоненциальное отображение также порождает групповой гомоморфизм из группы комплексных чисел C с операцией сложения в группу ненулевых комплексных чисел C* с операцией умножения. Это отображение сюръективно и имеет ядро {2πki : k ∈ Z}, что следует из формулы Эйлера. Поля, такие как R и C, которые имеют гомоморфизмы из своей аддитивной группы в свою мультипликативную группу, называются экспоненциальными полями. Функция, определенная как , является гомоморфизмом. Рассмотрим две группы и , представленные соответственно и , где – множество положительных действительных чисел. Тогда функция, определенная логарифмической функцией, является гомоморфизмом.

Категория групп

Если h : G → H и k : H → K — групповые гомоморфизмы, то композиция k ∘ h : G → K также является групповым гомоморфизмом. Это показывает, что класс всех групп, вместе с групповыми гомоморфизмами в качестве морфизмов, образует категорию.