Бинарная операция в математике: определение, примеры (сложение, вычитание, умножение). Объединение двух элементов для получения результата. Математические операции.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Математическая операция с двумя операндами
Mathematical operation with two operands
В математике бинарная операция или диадическая операция — это правило для объединения двух элементов (называемых операндами) в новый элемент. Более формально, бинарная операция — это операция арности два. В частности, бинарная операция на множестве — это операция, область определения и область значений которой совпадают с этим множеством. Примеры включают в себя известные арифметические операции сложения, вычитания и умножения. Другие примеры можно найти в различных областях математики, таких как сложение векторов, умножение матриц и сопряжение в группах. Операция арности два, включающая несколько множеств, также иногда называется бинарной операцией. Например, скалярное умножение векторных пространств принимает скаляр и вектор для получения вектора, а скалярное произведение принимает два вектора для получения скаляра. Такие бинарные операции также могут называться бинарными функциями. Бинарные операции являются краеугольным камнем большинства структур, изучаемых в алгебре, в частности в полугруппах, моноидах, группах, кольцах, полях и векторных пространствах.
In mathematics, a binary operation or dyadic operation is a rule for combining two elements (called operands) to produce another element. More formally, a binary operation is an operation of arity two. More specifically, a binary operation on a set is a binary operation whose two domains and the codomain are the same set. Examples include the familiar arithmetic operations of addition, subtraction, and multiplication. Other examples are readily found in different areas of mathematics, such as vector addition, matrix multiplication, and conjugation in groups. An operation of arity two that involves several sets is sometimes also called a binary operation. For example, scalar multiplication of vector spaces takes a scalar and a vector to produce a vector, and scalar product takes two vectors to produce a scalar. Such binary operations may also be called binary functions. Binary operations are the keystone of most structures that are studied in algebra, in particular in semigroups, monoids, groups, rings, fields, and vector spaces.
Обозначение
Бинарные операции часто записываются с использованием инфиксной нотации, такой как +, -, × или (путем сопоставления без символа), а не функциональной нотации вида f(x, y). Степени обычно также записываются без оператора, но со вторым аргументом в виде верхнего индекса. Бинарные операции иногда записываются с использованием префиксной или (чаще) постфиксной нотации, обе из которых обходятся без скобок. Они также называются, соответственно, польской нотацией и обратной польской нотацией.
Binary operations are often written using infix notation such as , , or (by juxtaposition with no symbol) rather than by functional notation of the form Powers are usually also written without operator, but with the second argument as superscript. Binary operations are sometimes written using prefix or (more frequently) postfix notation, both of which dispense with parentheses. They are also called, respectively, Polish notation and reverse Polish notation .
Бинарные операции как треугольные отношения
Бинарную операцию на множестве можно рассматривать как троичное отношение на этом множестве, то есть множество троек из для всех и из .
A binary operation on a set may be viewed as a ternary relation on , that is, the set of triples in for all and in .
Прочие бинарные операции
Например, скалярное умножение в линейной алгебре. Здесь `F` – поле, а `V` – векторное пространство над этим полем. Также скалярное произведение двух векторов отображает `V × V` в `F`, где `F` – поле, а `V` – векторное пространство над `F`. То, считается ли скалярное произведение двоичной операцией, зависит от автора.
For example, scalar multiplication in linear algebra. Here is a field and is a vector space over that field. Also the dot product of two vectors maps to , where is a field and is a vector space over It depends on authors whether it is considered as a binary operation.