Введение

Основные понятия алгебры

Элементарная алгебра, также известная как алгебра колледжа, охватывает основные понятия алгебры. Она часто противопоставляется арифметике: арифметика имеет дело с конкретными числами, в то время как алгебра вводит переменные (величины без фиксированных значений). Использование переменных подразумевает использование алгебраической нотации и понимание общих правил операций, введенных в арифметике: сложение, вычитание, умножение, деление и т. д. В отличие от абстрактной алгебры, элементарная алгебра не рассматривает алгебраические структуры за пределами области действительных и комплексных чисел. Обычно её преподают учащимся средних школ и на вводном уровне в колледжах в Соединенных Штатах. Буквы обозначают переменные и константы. По соглашению, буквы в начале алфавита (например, a, b, c) обычно используются для обозначения констант, а буквы в конце алфавита (например, x, y, z) – для обозначения переменных. Обычно они печатаются курсивом. Алгебраические операции работают так же, как и арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, и применяются к алгебраическим переменным и членам. Символы умножения обычно опускаются и подразумеваются, когда между двумя переменными или членами нет пробела или когда используется коэффициент. Например, 3x записывается как 3x, а x⋅y может быть записано как xy. Обычно члены с наивысшей степенью (показателем степени) записываются слева, например, x² записывается слева от x. Когда коэффициент равен 1, он обычно опускается (например, x записывается как 1x). Аналогично, когда показатель степени равен 1, он опускается (например, x¹ записывается как x). Когда показатель степени равен нулю, результат всегда равен 1 (например, x⁰ всегда переписывается как 1). Однако 0⁰, будучи неопределённым, не должно появляться в выражении, и следует соблюдать осторожность при упрощении выражений, в которых переменные могут встречаться в показателях степени.

Альтернативная обозначение

Другие типы обозначений используются в алгебраических выражениях, когда требуемое форматирование недоступно или не может быть подразумеваемым, например, когда в наличии только буквы и символы. В качестве примера, хотя степени обычно форматируются с использованием верхних индексов, например, , в простом тексте и в языке TeX символ каретки обозначает возведение в степень, поэтому записывается как "x^2". Это также применимо к некоторым языкам программирования, таким как Lua. В языках программирования, таких как Ada, Fortran, Perl, Python и Ruby, используется двойная звездочка, поэтому записывается как "x**2". Многие языки программирования и калькуляторы используют одинарную звездочку для обозначения умножения, и её необходимо использовать явно, например, записывается как "3*x".

Переменные

Элементарная алгебра основывается на арифметике и расширяет ее, вводя буквы, называемые переменными, для представления общих (неопределенных) чисел. Это полезно по нескольким причинам. Переменные могут представлять числа, значения которых пока неизвестны. Например, если температура текущего дня, C, на 20 градусов выше температуры предыдущего дня, P, то эту задачу можно описать алгебраически как. Переменные позволяют описывать общие задачи, не указывая значения участвующих в них величин. Например, можно конкретно указать, что 5 минут равны секундам. Более общее (алгебраическое) описание может утверждать, что количество секунд, , где m – количество минут. Переменные позволяют описывать математические взаимосвязи между величинами, которые могут изменяться. Например, зависимость между окружностью, c, и диаметром, d, круга описывается как. Переменные позволяют описывать некоторые математические свойства. Например, базовое свойство сложения – коммутативность, которая утверждает, что порядок, в котором складываются числа, не имеет значения. Коммутативность алгебраически выражается как .

Упрощение выражений

Алгебраические выражения могут быть вычислены и упрощены на основе основных свойств арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень). Например, слагаемые упрощаются с помощью коэффициентов. Например, можно упростить как (где 3 – числовой коэффициент). Умножаемые члены упрощаются с использованием степеней. Например, представляется как. Подобные члены складываются вместе, например, записывается как , потому что члены, содержащие , складываются вместе, а члены, содержащие , складываются вместе. Скобки можно раскрыть, используя распределительное свойство. Например, можно записать как, что можно записать как. Выражения можно разложить на множители. Например, , разделив оба члена на , можно записать как.

Уравнения

Уравнение утверждает, что два выражения равны, используя символ равенства (знак равенства). Одно из самых известных уравнений описывает закон Пифагора, связывающий длины сторон прямоугольного треугольника:

Это уравнение утверждает, что , представляющее квадрат длины стороны, являющейся гипотенузой – стороны, противоположной прямому углу – равно сумме (сложению) квадратов двух других сторон, длины которых обозначены a и b. Уравнение – это утверждение о том, что два выражения имеют одно и то же значение и равны. Некоторые уравнения верны для всех значений задействованных переменных (например, ); такие уравнения называются тождествами. Условные уравнения верны только для определенных значений задействованных переменных, например, верно только для x = 2 и y = 1. Значения переменных, при которых уравнение становится истинным, называются решениями уравнения и могут быть найдены путем решения этого уравнения. Другой тип уравнения – неравенство. Неравенства используются для обозначения того, что одна часть уравнения больше или меньше другой. Для этого используются следующие символы: где обозначает «больше», а – «меньше». Как и в обычных уравнениях, числа можно складывать, вычитать, умножать или делить. Единственное исключение заключается в том, что при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

Замена

Замена – это замена термов в выражении для получения нового выражения. Замена 3 на *a* в выражении *a* × 5 создает новое выражение 3 × 5, значение которого равно 15. Замена термов в утверждении создает новое утверждение. Если исходное утверждение истинно независимо от значений термов, то и утверждение, полученное заменой, также будет истинным. Следовательно, определения можно формулировать в символической форме и интерпретировать посредством замены: если означает определение как произведение *a* на само себя, то замена 3 на *a* сообщает читателю, что означает 1 = 3 × 3 = 9. Часто неизвестно, истинно ли утверждение независимо от значений термов. И замена позволяет вывести ограничения на возможные значения или показать, при каких условиях утверждение выполняется. Например, рассмотрим утверждение 1 = *x* + 1 = 0. Если *x* заменить на 1, то получится 1 = 1 + 1 = 2 = 0, что является ложным, а значит, если 1 = *x* + 1 = 0, то *x* не может быть равно 1. Если *x* и *y* – целые, рациональные или действительные числа, то 1 = *xy* = 0 подразумевает 1 = *x* = 0 или 1 = *y* = 0. Рассмотрим 1 = *abc* = 0. Затем, заменив *a* на *x* и *bc* на *y*, мы узнаем, что 1 = *a* = 0 или 1 = *bc* = 0. Затем мы можем произвести замену еще раз, допустим, что 1 = *x* = *b* и 1 = *y* = *c*, чтобы показать, что если 1 = *bc* = 0, то 1 = *b* = 0 или 1 = *c* = 0. Следовательно, если 1 = *abc* = 0, то 1 = *a* = 0 или (1 = *b* = 0 или 1 = *c* = 0), то есть 1 = *abc* = 0 подразумевает 1 = *a* = 0 или 1 = *b* = 0 или 1 = *c* = 0. Если бы исходный факт был сформулирован как «1 = *ab* = 0 подразумевает 1 = *a* = 0 или 1 = *b* = 0», то при рассмотрении 1 = *abc* = 0 возник бы конфликт термов при замене. Тем не менее, вышеуказанная логика все еще верна, чтобы показать, что если 1 = *abc* = 0, то 1 = *a* = 0 или 1 = *b* = 0 или 1 = *c* = 0, если вместо того, чтобы полагать 1 = *a* = *a* и 1 = *b* = *bc*, заменить *a* на *a* и *b* на *bc* (и при 1 = *bc* = 0 заменить *b* на *a* и *c* на *b*). Это показывает, что замена термов в утверждении не всегда эквивалентна приравниванию термов из утверждения замененным термам. В данной ситуации очевидно, что если мы заменим выражение *a* в терм *a* исходного уравнения, то замененное *a* не относится к *a* в утверждении «1 = *ab* = 0 подразумевает 1 = *a* = 0 или 1 = *b* = 0».

Решение алгебраических уравнений

В следующих разделах представлены примеры некоторых типов алгебраических уравнений, которые могут встретиться.

Система линейных уравнений

Существуют различные методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными.

Сверх- и недоопределенные системы

Системы, содержащие больше переменных, чем линейных уравнений, называются недоопределёнными. Такая система, если она имеет решения, не имеет единственного решения, а бесконечно много. Например,

При попытке решить такую систему, некоторые переменные выражаются как функции других, если решения существуют, но невозможно выразить все решения численно, поскольку их бесконечно много, если они вообще существуют. Система, содержащая больше уравнений, чем переменных, называется переопределённой. Если переопределённая система имеет решения, то некоторые уравнения обязательно являются линейными комбинациями других.