Введение

Биекция, биективная функция или соответствие «один к одному» между двумя математическими множествами — это функция, при которой каждый элемент второго множества (кодомена) сопоставляется ровно одному элементу первого множества (домена). Эквивалентно, биекция — это отношение между двумя множествами, при котором каждый элемент каждого множества сопоставлен ровно одному элементу другого множества. Функция является биективной тогда и только тогда, когда она обратима; то есть, функция является биективной, если и только если существует функция, обратная к f, такая, что каждый из двух возможных способов композиции этих функций дает тождественную функцию: для каждого x в домене и для каждого y в кодомене.

Например, умножение на два определяет биекцию из множества целых чисел в множество четных чисел, обратной функцией для которой является деление на два. Функция является биективной тогда и только тогда, когда она одновременно инъективна (или «один к одному») — что означает, что каждый элемент в кодомене сопоставляется не более чем одному элементу в домене, — и сюръективна (или «на») — что означает, что каждый элемент кодомена сопоставляется как минимум одному элементу в домене. Термин «один к одному» не следует путать с понятием «функция один к одному». Элементарная операция подсчета устанавливает биекцию между некоторым конечным множеством и первыми натуральными числами (1, 2, 3, …), вплоть до числа элементов в подсчитанном множестве. Следовательно, два конечных множества имеют одинаковое количество элементов тогда и только тогда, когда между ними существует биекция. В более общем смысле, два множества имеют одинаковую мощность, если между ними существует биекция. Биективная функция из множества в само себя также называется перестановкой, а множество всех перестановок множества образует его симметрическую группу. Некоторые биекции с дополнительными свойствами получили специальные названия, такие как автоморфизмы, изоморфизмы, гомеоморфизмы, диффеоморфизмы, группы перестановок и большинство геометрических преобразований. Соответствия Галуа — это биекции между множествами математических объектов, которые, на первый взгляд, могут казаться совершенно разными по своей природе.

Состав бейсбольной или крикетной команды

Рассмотрим порядок бьющих в бейсбольной или крикетной команде (или любой список всех игроков любой спортивной команды, где каждый игрок занимает определенное место в этом порядке). Множество X будет состоять из игроков команды (размером девять в случае бейсбола), а множество Y – из позиций в порядке бьющих (первый, второй, третий и т.д.). "Сопоставление" определяется тем, какой игрок находится на какой позиции в этом порядке. Свойство (1) выполняется, поскольку каждый игрок занимает какую-либо позицию в списке. Свойство (2) выполняется, так как ни один игрок не бьет с двух (или более) позиций в порядке. Свойство (3) утверждает, что для каждой позиции в порядке есть игрок, бьющий с этой позиции, а свойство (4) гласит, что два или более игроков никогда не бьют с одной и той же позиции в списке.

Больше математических примеров

Для любого множества X функция идентичности 1X: X → X, 1X(x) = x является биективной. Функция f: R → R, f(x) = 2x + 1 является биективной, поскольку для каждого y существует единственный x = (y − 1)/2 такой, что f(x) = y. В более общем случае, любая линейная функция над действительными числами, f: R → R, f(x) = ax + b (где a не равно нулю) является биекцией. Каждое действительное число y получается из (или сопоставляется с) действительным числом x = (y − b)/a. Функция f: R → (−π/2, π/2), заданная f(x) = arctan(x) является биективной, так как каждое действительное число x сопоставляется ровно с одним углом y в интервале (−π/2, π/2) так, что tan(y) = x (то есть, y = arctan(x)). Если кообласть (−π/2, π/2) была бы расширена, чтобы включать целое кратное π/2, то эта функция перестала бы быть сюръективной (отображающей на), поскольку не существует действительного числа, которое можно было бы сопоставить с этим кратным π/2 данной функцией арктангенса. Экспоненциальная функция g: R → R, g(x) = ex, не является биективной: например, не существует x в R такого, что g(x) = −1, что показывает, что g не является сюръективной (отображающей на). Однако, если кообласть ограничена положительными действительными числами, то g была бы биективной; ее обратная функция (см. ниже) — это функция натурального логарифма ln. Функция h: R → R+, h(x) = x2 не является биективной: например, h(−1) = h(1) = 1, что показывает, что h не является инъективной (взаимно однозначной). Однако, если область ограничена , то h была бы биективной; ее обратная функция — положительный квадратный корень. По теореме Шрёдера — Бернштейна, для любых двух множеств X и Y и двух инъективных функций f: X → Y и g: Y → X, существует биективная функция h: X → Y.

Состав

Состав двух биекций f: X → Y и g: Y → Z является биекцией, обратная к которой задается формулой. И наоборот, если состав двух функций биективен, то из этого следует лишь то, что f инъективна, а g сюръективна.

Кардинальность

Если X и Y — конечные множества, то существует биекция между множествами X и Y тогда и только тогда, когда X и Y имеют одинаковое количество элементов. Действительно, в аксиоматической теории множеств это принимается за определение "одинакового числа элементов" (эквинумерозность), а обобщение этого определения на бесконечные множества приводит к понятию кардинального числа — способу различать различные мощности бесконечных множеств.

Теория категорий

Биекции являются как раз изоморфизмами в категории Set множеств и отображений между ними. Однако, биекции не всегда являются изоморфизмами в более сложных категориях. Например, в категории Grp групп, морфизмы должны быть гомоморфизмами, так как они должны сохранять групповую структуру, следовательно, изоморфизмы – это групповые изоморфизмы, то есть биективные гомоморфизмы.