Введение
Функция, принимающая два аргумента
In mathematics, a binary function (also called bivariate function, or function of two variables) is a function that takes two inputs. Precisely stated, a function is binary if there exists sets such that
where is the Cartesian product of and
В математике, бинарная функция (также называемая бивариантной функцией или функцией двух переменных) — это функция, принимающая два аргумента. Более точно, функция является бинарной, если существуют множества A и B такие, что f: A × B → C, где A × B — декартово произведение множеств A и B.
In mathematics, a binary function (also called bivariate function, or function of two variables) is a function that takes two inputs. Precisely stated, a function is binary if there exists sets such that
where is the Cartesian product of and
Альтернативные определения
Теоретически, бинарная функция может быть представлена как подмножество декартова произведения , где принадлежит подмножеству тогда и только тогда, когда . Обратно, подмножество определяет бинарную функцию тогда и только тогда, когда для любых и существует единственное такое , что принадлежит . Тогда это значение определяется как . Альтернативно, бинарную функцию можно интерпретировать просто как функцию из в . Однако, даже при таком подходе, обычно пишут вместо (то есть, одна и та же пара скобок используется для обозначения как применения функции, так и формирования упорядоченной пары).
Alternatively, a binary function may be interpreted as simply a function from to Even when thought of this way, however, one generally writes instead of (That is, the same pair of parentheses is used to indicate both function application and the formation of an ordered pair.)
Примеры
Разделение целых чисел можно рассматривать как функцию. Если ℤ — множество целых чисел, ℕ — множество натуральных чисел (исключая ноль), а ℚ — множество рациональных чисел, то деление является бинарной функцией.
In a vector space V over a field F, scalar multiplication is a binary function. A scalar a ∈ F is combined with a vector v ∈ V to produce a new vector av ∈ V.
Another example is that of inner products, or more generally functions of the form , where x, y are real valued vectors of appropriate size and M is a matrix. If M is a positive definite matrix, this yields an inner product.
В векторном пространстве V над полем F скалярное умножение является бинарной функцией. Скаляр a ∈ F комбинируется с вектором v ∈ V, в результате чего получается новый вектор av ∈ V.
In a vector space V over a field F, scalar multiplication is a binary function. A scalar a ∈ F is combined with a vector v ∈ V to produce a new vector av ∈ V.
Another example is that of inner products, or more generally functions of the form , where x, y are real valued vectors of appropriate size and M is a matrix. If M is a positive definite matrix, this yields an inner product.
Другой пример — внутренние произведения, или, в более общем случае, функции вида , где x и y — вещественнозначные векторы подходящего размера, а M — матрица. Если M — положительно определенная матрица, то это дает внутреннее произведение.
In a vector space V over a field F, scalar multiplication is a binary function. A scalar a ∈ F is combined with a vector v ∈ V to produce a new vector av ∈ V.
Another example is that of inner products, or more generally functions of the form , where x, y are real valued vectors of appropriate size and M is a matrix. If M is a positive definite matrix, this yields an inner product.
Функции двух реальных переменных
Функции, область определения которых является подмножеством ℝ², часто также называют функциями двух переменных, даже если их область определения не образует прямоугольник и, следовательно, не является декартовым произведением двух множеств.
Ограничения на обычные функции
В свою очередь, можно также получить обычные функции одной переменной из бинарной функции. Для любого элемента существует функция , или , отображающая из в , заданная как . Аналогично, для любого элемента существует функция , или , отображающая из в , заданная как . В информатике эта идентификация между функцией из в и функцией из в , где — множество всех функций из в , называется каррированием.
Обобщения
Различные понятия, относящиеся к функциям, также могут быть обобщены на бинарные функции. Например, приведенный выше пример деления является сюръективным (или отображающим на), поскольку каждое рациональное число может быть представлено в виде частного целого числа и натурального числа. Этот пример инъективен по каждому аргументу в отдельности, так как функции f(x) и f(y) всегда инъективны. Однако он не является инъективным по обоим аргументам одновременно, потому что (например) f(2,4) = f(1,2). Можно также рассматривать частичные бинарные функции, которые могут быть определены только для определенных значений аргументов. Например, приведенный выше пример деления также может быть интерпретирован как частичная бинарная функция из Z и N в Q, где N – множество всех натуральных чисел, включая ноль. Но эта функция не определена, когда второй аргумент равен нулю. Бинарная операция – это бинарная функция, в которой множества X, Y и Z равны; бинарные операции часто используются для определения алгебраических структур. В линейной алгебре билинейное преобразование – это бинарная функция, в которой множества X, Y и Z являются векторными пространствами, а производные функции f(x) и f(y) – линейными преобразованиями. Билинейное преобразование, как и любая бинарная функция, может быть интерпретировано как функция из X × Y в Z, но эта функция, как правило, не является линейной. Однако билинейное преобразование также может быть интерпретировано как одно линейное преобразование из тензорного произведения в Z.
Обобщения на тройные и другие функции
Понятие бинарной функции обобщается на тернарную (или 3-арную) функцию, четвертичную (или 4-арную) функцию, или, в более общем виде, на n-арную функцию для любого натурального числа n. 0-арная функция в Z просто задается элементом из Z. Также можно определить A-арную функцию, где A – любое множество; для каждого элемента A имеется один входной параметр.
A 0 ary function to Z is simply given by an element of Z. One can also define an A ary function where A is any set; there is one input for each element of A.
Теория категорий
В теории категорий, n-арные функции обобщаются до n-арных морфизмов в мульти-категории. Интерпретация n-арного морфизма как обычного морфизма, область определения которого является некоторым видом произведения областей определения исходного n-арного морфизма, будет работать в моноидальной категории. Конструкция производных морфизмов от одной переменной будет работать в замкнутой моноидальной категории. Категория множеств является замкнутой моноидальной, как и категория векторных пространств, что дает понятие билинейного преобразования, упомянутое выше.