Приближение Паде: наилучшая рациональная аппроксимация функций
Padé approximant
Приближение Паде: лучшие рациональные аппроксимации функций. Превосходит разложение в ряд Тейлора, сходится там, где Тейлор расходится. Применение в вычислениях.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
"Наилучшее" приближение функции рациональной функцией заданного порядка.
'Best' approximation of a function by a rational function of given order
В математике аппроксимант Паде — это "наилучшее" приближение функции в окрестности заданной точки рациональной функцией заданного порядка. При этом методе степенной ряд аппроксиманта совпадает со степенным рядом функции, которую он приближает. Метод был разработан около 1890 года Анри Паде, но его истоки восходят к Георгу Фробениусу, который предложил эту идею и исследовал свойства рациональных приближений степенных рядов. Аппроксимант Паде часто обеспечивает более точное приближение функции, чем усечение ряда Тейлора, и может работать даже там, где ряд Тейлора не сходится. По этим причинам аппроксиманты Паде широко используются в компьютерных вычислениях. Они также применялись в качестве вспомогательных функций в диофантовом приближении и теории трансцендентных чисел, хотя для получения точных результатов их обычно заменяют специальными методами, в некотором смысле вдохновленными теорией Паде. Поскольку аппроксимант Паде является рациональной функцией, в качестве приближения может возникать искусственная сингулярная точка, но этого можно избежать с помощью анализа Бореля — Паде. Причина, по которой аппроксимант Паде, как правило, является лучшим приближением, чем усеченный ряд Тейлора, становится ясной с точки зрения метода многоточечного суммирования. Поскольку во многих случаях асимптотическое разложение при бесконечности стремится к 0 или константе, его можно интерпретировать как "неполное двухточечное приближение Паде", при котором обычный аппроксимант Паде улучшает метод усечения ряда Тейлора.
In mathematics, a Padé approximant is the "best" approximation of a function near a specific point by a rational function of given order. Under this technique, the approximant's power series agrees with the power series of the function it is approximating. The technique was developed around 1890 by Henri Padé, but goes back to Georg Frobenius, who introduced the idea and investigated the features of rational approximations of power series. The Padé approximant often gives better approximation of the function than truncating its Taylor series, and it may still work where the Taylor series does not converge. For these reasons Padé approximants are used extensively in computer calculations. They have also been used as auxiliary functions in Diophantine approximation and transcendental number theory, though for sharp results ad hoc methods—in some sense inspired by the Padé theory—typically replace them. Since a Padé approximant is a rational function, an artificial singular point may occur as an approximation, but this can be avoided by Borel–Padé analysis. The reason the Padé approximant tends to be a better approximation than a truncating Taylor series is clear from the viewpoint of the multi point summation method. Since there are many cases in which the asymptotic expansion at infinity becomes 0 or a constant, it can be interpreted as the "incomplete two point Padé approximation", in which the ordinary Padé approximation improves the method truncating a Taylor series.
Метод DLog Padé
Приближенные рациональные функции Паде могут использоваться для определения критических точек и показателей функций. В термодинамике, если функция f(x) ведет себя неаналитически вблизи точки 1/x = r, то 1/x = r называют критической точкой, а p – соответствующим критическим показателем функции f. Если известно достаточное количество членов разложения функции f в ряд, можно приближенно определить критические точки и критические показатели, соответственно, по полюсам и вычетам приближенной рациональной функции Паде, где .
Padé approximants can be used to extract critical points and exponents of functions. In thermodynamics, if a function f(x) behaves in a non analytic way near a point 1=x = r like , one calls 1=x = r a critical point and p the associated critical exponent of f. If sufficient terms of the series expansion of f are known, one can approximately extract the critical points and the critical exponents from respectively the poles and residues of the Padé approximants , where .
Обобщения
Приближение Паде аппроксимирует функцию одной переменной. Приближение для двух переменных называется аппроксимацией Чишолма (по имени Дж. С. Р. Чишолма), а для нескольких переменных – аппроксимацией Кентерберийской (по имени Грейвса Морриса из университета Кента).
A Padé approximant approximates a function in one variable. An approximant in two variables is called a Chisholm approximant (after J. S. R. Chisholm), in multiple variables a Canterbury approximant (after Graves Morris at the University of Kent).