Введение

В теории чисел закон квадратной взаимности, подобно теореме Пифагора, породил необычно большое количество доказательств. Опубликовано несколько сотен доказательств закона квадратной взаимности.

Резюме доказательства

Из элементарных комбинаторных доказательств выделяются два, использующих различные методы двойного счета. Одно, предложенное Готтфридом Эйзенштейном, основано на подсчете точек решетки. Другое применяет лемму Золотарева к выражению , которое, согласно китайской теореме об остатках, можно представить как , и вычисляет знак перестановки. Кратчайшее известное доказательство также использует упрощенный вариант двойного счета, а именно двойной счет по фиксированному простому модулю.

Доказательство с использованием квадратных сумм Гаусса

Доказательство квадратичной взаимности с использованием гауссовых сумм является одним из наиболее распространенных и классических доказательств. Эти доказательства основаны на сравнении вычислений отдельных значений двумя различными способами: одним с помощью критерия Эйлера, а другим – с помощью биномиальной теоремы. В качестве примера использования критерия Эйлера, мы можем привести быстрое доказательство первого дополнительного случая определения для нечетного простого числа p: по критерию Эйлера , но поскольку обе части этого равенства равны ±1, а p нечетно, мы можем заключить, что .

Второе дополнительное дело

Пусть , примитивный 8-й корень из единицы, и определим множество . Поскольку и , мы видим, что . Поскольку является алгебраическим целым, для нечетного простого числа p имеет смысл рассматривать его по модулю p. (Формально мы рассматриваем коммутативное кольцо, образованное факторизацией алгебраических целых чисел по идеалу, порожденному p. Поскольку не является алгебраическим целым, 1, 2, ..., p – различные элементы .) Используя критерий Эйлера, следует, что . Мы также можем вычислить , используя бином Ньютона. Поскольку перекрестные члены в разложении бинома содержат множители p, мы находим, что . Мы можем оценить это точнее, разбив на два случая. Это единственные возможные варианты для простого числа по модулю 8, и оба этих случая можно вычислить, используя экспоненциальную форму. Мы можем кратко записать это для всех нечетных простых чисел p как . Объединяя эти два выражения для и умножая на , мы находим, что . Поскольку и являются ±1, а 2 обратимо по модулю p, мы можем заключить, что .

Общее положение

Идея общего доказательства следует из вышеуказанного дополнительного случая: найдите алгебраическое целое число, которое каким-то образом кодирует символы Лежандра для p, затем найдите связь между символами Лежандра, вычислив q-ю степень этого алгебраического целого числа по модулю q двумя различными способами, один с использованием критерия Эйлера, другой – с использованием биномиальной теоремы. Пусть , где – примитивный p-й корень из единицы. Это квадратичная сумма Гаусса. Фундаментальное свойство этих сумм Гаусса заключается в том, что где. Чтобы поместить это в контекст следующего доказательства, отдельные элементы суммы Гаусса находятся в циклотомическом поле , но приведенная выше формула показывает, что сама сумма является образующим уникального квадратичного поля, содержащегося в L. Поскольку квадратичная сумма Гаусса является алгебраическим целым числом, мы можем использовать с ней модульную арифметику. Используя эту фундаментальную формулу и критерий Эйлера, мы находим, что, следовательно, используя биномиальную теорему, мы также находим, что если обозначить a как мультипликативную обратную величину , то мы можем переписать эту сумму, используя замену , которая не влияет на диапазон суммирования. Поскольку , мы можем тогда записать, используя эти два выражения для , и умножая обе части на , получаем. Поскольку обратимо по модулю q, а символы Лежандра принимают значения либо ±1, мы можем заключить, что.

Доказательство с использованием алгебраической теории чисел

Представленное здесь доказательство отнюдь не самое простое из известных, однако оно достаточно глубокое, поскольку оно подводит к некоторым идеям взаимности Артина.

Настройка циклотомического поля

Предположим, что p – нечётное простое число. Действие происходит внутри циклотомического поля, где ζp – примитивный p-й корень из единицы. Основная теория циклотомических полей сообщает нам, что существует канонический изоморфизм, который отображает автоморфизм σa, удовлетворяющий условию , в элемент . В частности, этот изоморфизм инъективен, поскольку мультипликативная группа поля является циклической группой: Теперь рассмотрим подгруппу H, состоящую из квадратов элементов G. Поскольку G циклична, H имеет индекс 2 в G, следовательно, подполе, соответствующее H в соответствии с соответствием Галуа, должно быть квадратичным расширением Q. (Фактически, это единственное квадратичное расширение Q, содержащееся в L.) Теория гауссовых периодов определяет, какое именно; оказывается, это , где .

В этот момент мы начинаем замечать намёк на закон квадратичной взаимности, возникающий в нашей структуре. С одной стороны, образ H в состоит ровно из (ненулевых) квадратичных вычетов по модулю p. С другой стороны, H связан с попыткой извлечь квадратный корень из p (или, возможно, из −p). Иными словами, если теперь q – простое число (отличное от p), мы показали, что .