Введение

Игра, повторяющая базовую игру

В теории игр повторяющаяся игра (или итерированная игра) – это игра в развернутой форме, состоящая из ряда повторений некоторой базовой игры (называемой стадийной игрой). Стадийная игра обычно является одной из хорошо изученных игр для двух игроков. Повторяющиеся игры отражают идею о том, что игрок должен учитывать влияние своего текущего действия на будущие действия других игроков; это влияние иногда называют репутацией. Игра с одним этапом или игра с одним ходом – это названия для не повторяющихся игр. В качестве примера повторяющейся игры рассмотрим две бензозаправочные станции, расположенные рядом друг с другом. Они конкурируют, публично объявляя цены, и имеют одинаковую и постоянную предельную стоимость c (оптовая цена бензина). Предположим, что когда они оба устанавливают цену p = 10, их совместная прибыль максимизируется, что приводит к высокой прибыли для всех. Несмотря на то, что это лучший исход для них, они мотивированы отклониться от него. Скромно снизив цену, любой из них может переманить всех клиентов конкурента, почти удвоив свою выручку. P = c, где их прибыль равна нулю, – единственная цена, при которой отсутствует стимул к отклонению. Другими словами, в игре ценовой конкуренции единственное равновесие Нэша является неэффективным (для бензозаправочных станций), когда обе станции устанавливают цену p = c. Это скорее правило, чем исключение: в стадийной игре равновесие Нэша – единственный результат, который агент может последовательно получить во взаимодействии, и оно обычно неэффективно для них. Это связано с тем, что агенты заботятся только о своих личных интересах и не принимают во внимание выгоды или издержки, которые их действия приносят конкурентам. С другой стороны, бензозаправочные станции получают прибыль, даже если рядом есть другая станция. Одна из важнейших причин этого заключается в том, что их взаимодействие не является разовым. Это условие отражается в повторяющихся играх, в которых две бензозаправочные станции конкурируют в ценообразовании (стадийные игры) в течение неопределенного временного диапазона t = 0, 1, 2, …

Конечные и бесконечно повторяющиеся игры

Повторяющиеся игры можно разделить на два класса: конечные и бесконечные, в зависимости от продолжительности игры. Конечные игры – это те, в которых оба игрока знают, что игра проводится в течение определенного (и конечного) числа раундов, и что игра обязательно завершится после этого количества раундов. В общем случае, конечные игры можно решить методом обратной индукции. Бесконечные игры – это те, в которых игра проводится бесконечное число раз. Игра с бесконечным числом раундов также эквивалентна (с точки зрения игровых стратегий) игре, в которой игроки не знают, сколько раундов будет сыграно. Бесконечные игры (или игры, повторяющиеся неизвестное число раз) не могут быть решены методом обратной индукции, поскольку отсутствует "последний раунд", с которого можно начать обратную индукцию. Даже если игра, проводимая в каждом раунде, идентична, повторение этой игры конечное или бесконечное число раз может, как правило, приводить к существенно различным результатам (равновесиям), а также к существенно различным оптимальным стратегиям.

Окончательно повторяющиеся игры

Повторные игры позволяют изучать взаимодействие между немедленной выгодой и долгосрочными стимулами. Конечно повторяющаяся игра – это игра, в которой одна и та же одношаговая игра повторяется в течение ряда дискретных периодов времени или раундов. Каждый период времени обозначается индексом 0 < t ≤ T, где T – общее количество периодов. Итоговая выплата игрока – это сумма его выплат за каждый раунд. Для повторяющихся игр с фиксированным и известным числом периодов, если одношаговая игра имеет единственное равновесие Нэша, то повторяющаяся игра имеет единственный профиль стратегий совершенного по подмножествам равновесия Нэша, заключающийся в игре равновесия одношаговой игры в каждом раунде. Это можно вывести с помощью обратной индукции. Единственное равновесие Нэша в одношаговой игре должно быть сыграно в последнем раунде, независимо от того, что происходило в предыдущих раундах. Зная это, у игроков нет стимула отклоняться от единственного равновесия Нэша в одношаговой игре во втором с конца раунде, и, следовательно, эта логика применяется последовательно к первому раунду игры. Этот процесс «разворачивания» игры от ее конечной точки можно наблюдать в парадоксе Chainstore. Если одношаговая игра имеет более одного равновесия Нэша, повторяющаяся игра может иметь несколько совершенных по подмножествам равновесий Нэша. Хотя в последнем раунде должно быть сыграно равновесие Нэша, наличие нескольких равновесий открывает возможность использования стратегий вознаграждения и наказания для поддержки отклонения от равновесия Нэша в одношаговой игре в более ранних раундах. Иными словами, этот результат означает, что само наличие известного конечного временного горизонта подрывает сотрудничество в каждом раунде игры. Сотрудничество в повторяющихся играх возможно только тогда, когда число раундов бесконечно или неизвестно.

Решение повторяющихся игр

В общем, повторяющиеся игры легко решаются с помощью стратегий, предложенных в рамках народных теорем. Сложные повторяющиеся игры можно решить, используя различные методы, большинство из которых в значительной степени опираются на линейную алгебру и концепции, выраженные в концепции фиктивной игры. Из этого можно заключить, что можно определить характеристику равновесных выигрышей в бесконечно повторяющихся играх. Путем чередования между двумя выигрышами, например, a и f, средний профиль выигрышей может представлять собой взвешенное среднее между a и f.

Неполная информация

Повторные игры могут содержать элементы неполной информации. Первыми повторные игры с неполной информацией стали исследовать Ауман и Машлер. Хотя проще анализировать ситуации, когда один игрок обладает информацией, а другой – нет, и когда информация, получаемая каждым игроком, является независимой, возможно рассмотрение игр с нулевой суммой, в которых неполная информация есть у обеих сторон и сигналы не являются независимыми.