Введение

Статистическое сравнение порядковых рангов
В статистике корреляция рангов – это любая из нескольких статистик, измеряющих порядковую связь – взаимосвязь между ранжированиями различных порядковых переменных или различными ранжированиями одной и той же переменной, где "ранжирование" – это присвоение меток порядка "первый", "второй", "третий" и т.д. различным наблюдениям конкретной переменной. Коэффициент корреляции рангов измеряет степень сходства между двумя ранжированиями и может использоваться для оценки значимости связи между ними. Например, два распространенных непараметрических метода проверки значимости, использующих корреляцию рангов, – это U-критерий Манна-Уитни и критерий знаковых рангов Уилкоксона.

Контекст

Если, например, одна переменная – это принадлежность к баскетбольной команде колледжа, а другая – к футбольной, можно проверить, существует ли связь между позициями этих команд в рейтингах: стремятся ли колледжи с более высоким рейтингом баскетбольной команды иметь более высокий рейтинг футбольной команды? Коэффициент ранговой корреляции может измерить эту связь, а оценка значимости коэффициента ранговой корреляции может показать, достаточно ли слаба выявленная связь, чтобы, скорее всего, быть случайностью. Если есть только одна переменная – принадлежность к футбольной команде колледжа, но она оценивается по двум разным рейтингам (например, тренерами и спортивными журналистами), то сходство этих двух рейтингов можно измерить с помощью коэффициента ранговой корреляции. В качестве другого примера, в таблице сопряженности, где в строках указаны уровни дохода (низкий, средний, высокий), а в столбцах – уровень образования (неполное среднее, среднее, высшее), ранговая корреляция измеряет связь между доходом и уровнем образования.

Корреляция ранга и бисерии

Джин Гласс (1965) отметил, что бисериал рангов можно вывести из коэффициента Спирмана. «Можно получить коэффициент, определенный для X, дихотомической переменной, и Y, переменной рангов, который оценивает rho Спирмана между X и Y так же, как бисериал r оценивает r Пирсона между двумя нормально распределенными переменными» (с. 91). Бисериальная корреляция рангов была предложена за девять лет до этого Эдвардом Кьюретоном (1956) как мера корреляции рангов в случае, когда ранги распределены по двум группам.

Формула простой разницы Керби

Дэйв Керби (2014) рекомендовал бисериальный коэффициент рангов в качестве способа знакомства студентов с ранговой корреляцией, поскольку общую логику можно объяснить на начальном уровне. Бисериальный коэффициент рангов – это корреляция, используемая в тесте Манна-Уитни, методе, который обычно рассматривается во вводных университетских курсах по статистике. Данные для этого теста состоят из двух групп, и для каждого участника группы результат ранжируется относительно всей выборки. Керби показал, что эту ранговую корреляцию можно выразить через две концепции: процент данных, подтверждающих выдвинутую гипотезу, и процент данных, не подтверждающих ее. Формула простого разложения Керби утверждает, что ранговая корреляция может быть выражена как разность между долей благоприятных свидетельств (f) и долей неблагоприятных свидетельств (u).

Пример и интерпретация

Чтобы проиллюстрировать вычисление, представим, что тренер тренирует бегунов на длинные дистанции в течение месяца, используя два метода. В группе А 5 бегунов, а в группе В – 4 бегуна. Выдвинутая гипотеза состоит в том, что метод А позволяет подготовить более быстрых бегунов. В забеге для оценки результатов выясняется, что бегуны из группы А действительно показали лучшие результаты, заняв следующие места: 1, 2, 3, 4 и 6. Соответственно, более медленные бегуны из группы В заняли места 5, 7, 8 и 9. Анализ проводится по парам, определяемым как сравнение участника из одной группы с участником из другой группы. Например, самый быстрый бегун в исследовании участвует в четырех парах: (1,5), (1,7), (1,8) и (1,9). Все четыре пары подтверждают гипотезу, поскольку в каждой паре бегун из группы А обогнал бегуна из группы В. Всего сформировано 20 пар, и 19 из них подтверждают гипотезу. Единственная пара, не поддерживающая гипотезу, состоит из бегунов, занявших 5-е и 6-е места, так как в этой паре бегун из группы В показал лучшее время. Согласно простой разностной формуле Керби, 95% данных подтверждают гипотезу (19 из 20 пар), а 5% – опровергают (1 из 20 пар), следовательно, коэффициент ранговой корреляции равен r = .95 − .05 = .90. Максимальное значение коэффициента корреляции r = 1, что означает, что 100% пар подтверждают гипотезу. Корреляция r = 0 указывает на то, что половина пар подтверждает гипотезу, а половина – нет; другими словами, ранги в выборках не различаются, и нет оснований полагать, что они взяты из двух разных популяций. Можно сказать, что размер эффекта r = 0 описывает отсутствие связи между принадлежностью к группе и рангами участников.