Введение
Статистический тест, в котором тестовой статистикой является число признаков одного типа. Тест на знаки – это статистический метод для проверки наличия устойчивых различий между парами наблюдений, например, веса испытуемых до и после лечения. Для каждой единицы наблюдения, имеющей пару значений (например, вес до и после лечения), тест на знаки определяет, имеет ли один из элементов пары (например, значение до лечения) тенденцию быть больше (или меньше), чем другой элемент пары (например, значение после лечения). Пары наблюдений могут быть обозначены как x и y. Для сравнения парных наблюдений (x, y) тест на знаки наиболее полезен, если сравнения могут быть выражены только в виде x > y, x = y или x < y. Если же наблюдения могут быть представлены числовыми значениями (x = 7, y = 18) или рангами (ранг x = 1, ранг y = 8), то парный t-тест или тест Уилкоксона для знаков обычно обладают большей мощностью, чем тест на знаки, для выявления устойчивых различий. Если X и Y – количественные переменные, тест на знаки можно использовать для проверки гипотезы о том, что медиана разности между X и Y равна нулю, при условии непрерывного распределения двух случайных величин X и Y, когда возможно получение парных выборок из X и Y. Тест на знаки также может проверить, значительно ли медиана набора чисел больше или меньше заданного значения. Например, имея список оценок учеников в классе, тест на знаки может определить, значительно ли медианная оценка отличается от, скажем, 75 из 100. Тест на знаки – это непараметрический тест, который делает очень мало предположений о природе проверяемых распределений, что означает его широкую применимость, но может приводить к меньшей статистической мощности по сравнению с альтернативными тестами. Два условия для применения парного теста на знаки заключаются в том, что выборка должна быть случайной из каждой генеральной совокупности, а выборки должны быть зависимыми, то есть парными. Независимые выборки не могут быть осмысленно сопоставлены. Поскольку тест непараметрический, выборки не обязательно должны происходить из нормально распределенных генеральных совокупностей. Кроме того, тест применим для односторонних (левосторонних и правосторонних) и двусторонних тестов.
The sign test is a statistical method to test for consistent differences between pairs of observations, such as the weight of subjects before and after treatment. Given pairs of observations (such as weight pre and post treatment) for each subject, the sign test determines if one member of the pair (such as pre treatment) tends to be greater than (or less than) the other member of the pair (such as post treatment). The paired observations may be designated x and y. For comparisons of paired observations (x,y), the sign test is most useful if comparisons can only be expressed as x > y, x = y, or x < y. If, instead, the observations can be expressed as numeric quantities (x = 7, y = 18), or as ranks (rank of x = 1st, rank of y = 8th), then the paired t test
or the Wilcoxon signed rank test will usually have greater power than the sign test to detect consistent differences. If X and Y are quantitative variables, the sign test can be used to test the hypothesis that the difference between the X and Y has zero median, assuming continuous distributions of the two random variables X and Y, in the situation when we can draw paired samples from X and Y. The sign test can also test if the median of a collection of numbers is significantly greater than or less than a specified value. For example, given a list of student grades in a class, the sign test can determine if the median grade is significantly different from, say, 75 out of 100. The sign test is a non parametric test which makes very few assumptions about the nature of the distributions under test – this means that it has very general applicability but may lack the statistical power of the alternative tests. The two conditions for the paired sample sign test are that a sample must be randomly selected from each population, and the samples must be dependent, or paired. Independent samples cannot be meaningfully paired. Since the test is nonparametric, the samples need not come from normally distributed populations. Also, the test works for left tailed, right tailed, and two tailed tests.
Метод
Пусть p = Pr(X > Y), и затем проверим нулевую гипотезу H0: p = 0,50. Иными словами, нулевая гипотеза утверждает, что для случайной пары измерений (xi, yi) значения xi и yi равновероятны друг другу по величине. Для проверки нулевой гипотезы собираются независимые пары выборочных данных из популяций {(x1, y1), (x2, y2), . ., (xn, yn)}. Пары, для которых нет различий, исключаются, что может привести к уменьшению выборки до m пар. Пусть W – количество пар, для которых yi − xi > 0. Если нулевая гипотеза H0 верна, то W следует биномиальному распределению W ~ b(m, 0.5).
Предположения
Пусть Zi = Yi – Xi для i = 1, …, n. Разности Zi предполагаются независимыми. Каждая Zi происходит из одной и той же непрерывной генеральной совокупности. Значения Xi и Yi представлены в упорядоченном виде (по крайней мере, на уровне порядковой шкалы), поэтому сравнения "больше", "меньше" и "равно" имеют смысл.
The differences Zi are assumed to be independent. Each Zi comes from the same continuous population. The values Xi and Yi represent are ordered (at least the ordinal scale), so the comparisons "greater than", "less than", and "equal to" are meaningful.