Введение
Оператор магнитного контура, двойственный циклу Уилсона. В квантовой теории поля цикл 't Hooft является магнитным аналогом цикла Уилсона, для которого пространственные контуры приводят к тонким контурам магнитного потока, связанным с магнитными вихрями. Они играют роль параметра порядка для фазы Хиггса в чистой калибровочной теории. Условия согласованности между электрическими и магнитными зарядами ограничивают возможные циклы 't Hooft, которые могут быть использованы, подобно тому, как условие квантования Дирака ограничивает множество допустимых магнитных монополей. Они были впервые введены Герардом 't Hooft в 1978 году в контексте возможных фаз, которые допускают калибровочные теории.
In quantum field theory, the 't Hooft loop is a magnetic analogue of the Wilson loop for which spatial loops give rise to thin loops of magnetic flux associated with magnetic vortices. They play the role of a disorder parameter for the Higgs phase in pure gauge theory. Consistency conditions between electric and magnetic charges limit the possible 't Hooft loops that can be used, similarly to the way that the Dirac quantization condition limits the set of allowed magnetic monopoles. They were first introduced by Gerard 't Hooft in 1978 in the context of possible phases that gauge theories admit.
Ограничения заряда
При наличии как линий 't Hooft, так и линий Уилсона, теория требует условий согласованности, аналогичных условию квантования Дирака, которое возникает при одновременном существовании электрических и магнитных монополей. Для группы калибровки, где – универсальная накрывающая группа с алгеброй Ли и – подгруппа центра, множество допустимых линий Уилсона находится во взаимно однозначном соответствии с представлениями . Это можно сформулировать точнее, введя веса алгебры Ли, которые порождают решетку весов. Обозначим через решетку, порождаемую весами, связанными с алгеброй , а не . Тогда линии Уилсона находятся во взаимно однозначном соответствии с точками решетки , где – группа Вейля. Заряженная алгеброй Ли величина, характеризующая линию 't Hooft, всегда может быть выражена через ранг и подалгебру Картана как , где – -мерный вектор заряда. Из-за существования линий Уилсона, заряд 't Hooft должен удовлетворять обобщенному условию квантования Дирака , которое должно выполняться для всех представлений алгебры Ли. Обобщенное условие квантования эквивалентно требованию, чтобы выполнялось для всех векторов веса. Чтобы найти множество векторов, удовлетворяющих этому условию, необходимо рассмотреть корни , которые являются векторами веса в сопряжденном представлении. Ко-корни, определяемые через корни соотношением , порождают ко-корневую решетку. Эти векторы обладают полезным свойством, а именно , что означает, что единственными допустимыми магнитными зарядами для линий 't Hooft являются заряды, принадлежащие ко-корневой решетке.
Иногда это записывается в терминах двойственной алгебры Лэнгленда алгебры с решеткой весов , в этом случае линии 't Hooft описываются с помощью . Более общие классы дионических линейных операторов, несущих как электрические, так и магнитные заряды, также могут быть построены. Иногда называемые операторами Уилсона–'t Hooft, они определяются парами зарядов с точностью до отождествления, согласно которому для всех выполняется .
More general classes of dyonic line operators, with both electric and magnetic charges, can also be constructed. Sometimes called Wilson–'t Hooft line operators, they are defined by pairs of charges up to the identification that for all it holds that
Линейные операторы играют роль в выявлении различий между калибровочными теориями вида , различающимися центральной подгруппой. Если они не компактифицированы, эти теории не отличаются локальной физикой, и никакие локальные эксперименты не могут определить точную группу калибровки теории. Тем не менее, теории различаются своими глобальными свойствами, например, различными наборами допустимых линейных операторов. Например, в калибровочных теориях петли Уилсона маркируются , а линии 't Hooft – . Однако в решетки меняются местами: теперь линии Уилсона определяются , а линии 't Hooft – .