Введение

Тест Кокрана — Армитажа для выявления тренда, названный в честь Уильяма Кокрана и Питера Армитажа, используется в анализе категориальных данных, когда необходимо оценить наличие связи между переменной с двумя категориями и порядковой переменной с k категориями. Он является модификацией критерия Пирсона хи-квадрат, позволяющей учесть предполагаемый порядок влияния k категорий второй переменной. Например, дозы лекарственного препарата можно упорядочить как «низкая», «средняя» и «высокая», и можно предположить, что эффект от лечения не будет уменьшаться с увеличением дозы. Тест на тренд часто применяется в качестве генотип-ориентированного теста в генетических исследованиях ассоциаций типа «случай-контроль».

Введение

Тенденционный тест применяется, когда данные представлены в виде таблицы сопряженности 2 × k. Например, если k = 3, то мы имеем:

B = 1 B = 2 B = 3
A = 1 N11 N12 N13
A = 2 N21 N22 N23

Эту таблицу можно дополнить суммарными значениями по строкам и столбцам двух переменных:

B = 1 B = 2 B = 3 Сумма
A = 1 N11 N12 N13 R1
A = 2 N21 N22 N23 R2
Сумма C1 C2 C3 N

где R1 = N11 + N12 + N13, и C1 = N11 + N21, и т.д. Статистика теста тренда имеет вид:

где ti – веса, а разность N1iR2 − N2iR1 можно рассматривать как разность между N1i и N2i после перевзвешивания строк, чтобы они имели одинаковую сумму. Гипотеза об отсутствии связи (нулевая гипотеза) может быть выражена следующим образом:

Предполагая, что это верно, то, используя итерированное математическое ожидание,

Дисперсия может быть вычислена путем разложения, что дает:

и как приближение для больших выборок:

Веса ti можно выбрать таким образом, чтобы тест тренда стал локально наиболее мощным для обнаружения определенных типов связей. Например, если k = 3 и мы подозреваем, что B = 1 и B = 2 имеют схожие частоты (в каждой строке), но B = 3 имеет другую частоту, то следует использовать веса t = (1, 1, 0). Если мы подозреваем линейную тенденцию частот, то следует использовать веса t = (0, 1, 2). Эти веса также часто используются, когда предполагается, что частоты монотонно изменяются с B, даже если тенденция не обязательно линейная.

Интерпретация и роль

Тест на тренд обладает большей мощностью, чем критерий хи-квадрат, когда предполагаемый тренд верен, но при этом теряется способность выявлять неожиданные тренды. Это пример общей методики направления проверки гипотез на конкретные альтернативы. Тест на тренд использует предполагаемое направление эффекта для повышения мощности, однако это не влияет на выборочное распределение статистики теста при нулевой гипотезе. Следовательно, предполагаемый тренд в эффектах не является предположением, которое должно выполняться для того, чтобы результаты теста имели смысл.