Ограничение на количество последовательных гладких чисел

Введение

В теории чисел теорема Стормера, названная в честь Карла Стормера, устанавливает конечное ограничение на количество последовательных пар гладких чисел для заданной степени гладкости и предоставляет метод для нахождения всех таких пар с помощью уравнений Пелля. Хотя из теоремы Тью — Сигеля — Ротта следует, что существует лишь конечное число пар такого типа, Стормер предложил процедуру для их полного перечисления.

Процедура

Первоначальная процедура Штормера включает решение набора из примерно 3000 уравнений Пелля, в каждом из которых находится только наименьшее решение. Упрощенная версия процедуры, предложенная Д. Х. Лемером, описана ниже; она решает меньше уравнений, но находит больше решений в каждом уравнении. Пусть P – заданное множество простых чисел, и число называется P-гладким, если все его простые делители принадлежат P. Предположим, что p1 = 2; в противном случае не может существовать последовательных P-гладких чисел, поскольку все P-гладкие числа были бы нечетными. Метод Лемера заключается в решении уравнения Пелля для каждого P-гладкого числа q, не делящегося на квадрат, отличного от 2. Каждое такое число q генерируется как произведение подмножества P, поэтому необходимо решить 2k − 1 уравнений Пелля. Для каждого такого уравнения пусть xi, yi – полученные решения, для i в диапазоне от 1 до max(3, (pk + 1) / 2) включительно, где pk – наибольшее из простых чисел в P. Тогда, как показывает Лемер, все последовательные пары P-гладких чисел имеют вид (xi − 1) / 2, (xi + 1) / 2. Таким образом, можно найти все такие пары, проверяя числа этой формы на P-гладкость.

Пример

Чтобы найти десять последовательных пар {2,3,5} гладких чисел (в теории музыки, дающих суперчастичные отношения для точной настройки), пусть P = {2,3,5}. Существует семь P-гладких безквадратных чисел q (исключая восьмое P-гладкое безквадратное число, 2): 1, 3, 5, 6, 10, 15 и 30, каждое из которых приводит к уравнению Пелля. Количество решений уравнения Пелля, требуемых методом Лемера, составляет max(3, (5 + 1) / 2) = 3, поэтому этот метод генерирует три решения для каждого уравнения Пелля, как следует. Для q = 1 первые три решения уравнения Пелля x² − 2y² = 1 — (3,2), (17,12) и (99,70). Таким образом, для каждого из трех значений xi = 3, 17 и 99 метод Лемера проверяет на гладкость пару (xi − 1) / 2, (xi + 1) / 2; три пары, которые необходимо проверить, — (1,2), (8,9) и (49,50). И (1,2), и (8,9) являются парами последовательных P-гладких чисел, но (49,50) — нет, так как 49 имеет 7 в качестве простого множителя. Для q = 3 первые три решения уравнения Пелля x² − 6y² = 1 — (5,2), (49,20) и (485,198). Из трех значений xi = 5, 49 и 485 метод Лемера формирует три пары кандидатов в последовательные числа (xi − 1) / 2, (xi + 1) / 2: (2,3), (24,25) и (242,243). Из них (2,3) и (24,25) являются парами последовательных P-гладких чисел, но (242,243) — нет. Для q = 5 первые три решения уравнения Пелля x² − 10y² = 1 — (19,6), (721,228) и (27379,8658). Решение Пелля (19,6) приводит к паре последовательных P-гладких чисел (9,10); два других решения уравнения Пелля не приводят к P-гладким парам. Для q = 6 первые три решения уравнения Пелля x² − 12y² = 1 — (7,2), (97,28) и (1351,390). Решение Пелля (7,2) приводит к паре последовательных P-гладких чисел (3,4). Для q = 10 первые три решения уравнения Пелля x² − 20y² = 1 — (9,2), (161,36) и (2889,646). Решение Пелля (9,2) приводит к паре последовательных P-гладких чисел (4,5), а решение Пелля (161,36) приводит к паре последовательных P-гладких чисел (80,81). Для q = 15 первые три решения уравнения Пелля x² − 30y² = 1 — (11,2), (241,44) и (5291,966). Решение Пелля (11,2) приводит к паре последовательных P-гладких чисел (5,6). Для q = 30 первые три решения уравнения Пелля x² − 60y² = 1 — (31,4), (1921,248) и (119071,15372). Решение Пелля (31,4) приводит к паре последовательных P-гладких чисел (15,16).

To find the ten consecutive pairs of {2,3,5} smooth numbers (in music theory, giving the superparticular ratios for just tuning) let P = {2,3,5}. There are seven P smooth squarefree numbers q (omitting the eighth P smooth squarefree number, 2): 1, 3, 5, 6, 10, 15, and 30, each of which leads to a Pell equation. The number of solutions per Pell equation required by Lehmer's method is max(3, (5 + 1)/2) = 3, so this method generates three solutions to each Pell equation, as follows. For q = 1, the first three solutions to the Pell equation x2 − 2y2 = 1 are (3,2), (17,12), and (99,70). Thus, for each of the three values xi = 3, 17, and 99, Lehmer's method tests the pair (xi − 1)/2, (xi + 1)/2 for smoothness; the three pairs to be tested are (1,2), (8,9), and (49,50). Both (1,2) and (8,9) are pairs of consecutive P smooth numbers, but (49,50) is not, as 49 has 7 as a prime factor. For q = 3, the first three solutions to the Pell equation x2 − 6y2 = 1 are (5,2), (49,20), and (485,198). From the three values xi = 5, 49, and 485 Lehmer's method forms the three candidate pairs of consecutive numbers (xi − 1)/2, (xi + 1)/2: (2,3), (24,25), and (242,243). Of these, (2,3) and (24,25) are pairs of consecutive P smooth numbers but (242,243) is not. For q = 5, the first three solutions to the Pell equation x2 − 10y2 = 1 are (19,6), (721,228), and (27379,8658). The Pell solution (19,6) leads to the pair of consecutive P smooth numbers (9,10); the other two solutions to the Pell equation do not lead to P smooth pairs. For q = 6, the first three solutions to the Pell equation x2 − 12y2 = 1 are (7,2), (97,28), and (1351,390). The Pell solution (7,2) leads to the pair of consecutive P smooth numbers (3,4). For q = 10, the first three solutions to the Pell equation x2 − 20y2 = 1 are (9,2), (161,36), and (2889,646). The Pell solution (9,2) leads to the pair of consecutive P smooth numbers (4,5) and the Pell solution (161,36) leads to the pair of consecutive P smooth numbers (80,81). For q = 15, the first three solutions to the Pell equation x2 − 30y2 = 1 are (11,2), (241,44), and (5291,966). The Pell solution (11,2) leads to the pair of consecutive P smooth numbers (5,6). For q = 30, the first three solutions to the Pell equation x2 − 60y2 = 1 are (31,4), (1921,248), and (119071,15372). The Pell solution (31,4) leads to the pair of consecutive P smooth numbers (15,16).

Обобщения и применения

Луи Морделл писал об этом результате, отмечая, что он "очень изящный, и у него много применений".

В теории музыки

В музыкальной практике справедчивой интонации музыкальные интервалы можно описать как отношение между положительными целыми числами. Более конкретно, их можно описать как отношение между членами гармонического ряда. Любой музыкальный тон можно разложить на его основную частоту и гармонические частоты, которые являются целочисленными кратными основной частоты. Считается, что этот ряд лежит в основе естественной гармонии и мелодии. Тональная сложность отношений между этими гармониками возрастает с увеличением простых множителей. Чтобы ограничить эту тональную сложность, интервал называют n-предельным, если и числитель, и знаменатель его n-гладкие. Кроме того, суперпартикулярные отношения играют важную роль в теории справедчивой настройки, поскольку они представляют отношения между соседними членами гармонического ряда. Теорема Стёрмера позволяет найти все возможные суперпартикулярные отношения в заданном пределе. Например, в 3-м пределе (пифагорейская настройка) единственными возможными суперпартикулярными отношениями являются 2/1 (октава), 3/2 (чистая квинта), 4/3 (чистая кварта) и 9/8 (целый тон). То есть, единственные пары последовательных целых чисел, в разложении на простые множители которых содержатся только степени двух и трёх, это (1,2), (2,3), (3,4) и (8,9). Если расширить это до 5-го предела, то становятся доступны шесть дополнительных суперпартикулярных отношений: 5/4 (большая терция), 6/5 (малая терция), 10/9 (малый тон), 16/15 (малая секунда), 25/24 (малый полутон) и 81/80 (синтоническая кома). Все они имеют музыкальное значение.