Введение

Азимутальная равновеликая проекция

Азимутальная равновеликая проекция Ламберта – это конкретное отображение сферы на диск. Она точно сохраняет площади во всех областях сферы, но искажает углы. Проекция названа в честь швейцарского математика Иоганна Генриха Ламберта, который впервые описал её в 1772 году. Поскольку термины "зенитальная" и "азимутальная" являются синонимами, проекция также известна как зенитальная равновеликая проекция Ламберта. Азимутальная проекция Ламберта используется в картографии. Например, Национальный атлас США использует азимутальную равновеликую проекцию Ламберта для отображения информации в онлайн-приложении Map Maker, а Европейское агентство по окружающей среде рекомендует её для картографирования Европы при статистическом анализе и визуализации данных. Она также применяется в научных областях, таких как геология, для определения ориентации линий в трёхмерном пространстве. Для этого используется специальная графическая сетка, называемая сетью Шмидта.

Свойства

Как определено в предыдущем разделе, азимутная проекция Ламберта единичной сферы не определена в точке (0, 0, 1). Она отображает остальную часть сферы на открытый диск радиуса 2 с центром в начале координат (0, 0) на плоскости. Точка (0, 0, −1) отображается в (0, 0), экватор z = 0 – в окружность радиуса, центрированную в (0, 0), а нижнее полушарие z < 0 – в открытый диск, содержащийся внутри этой окружности. Проекция является диффеоморфизмом (взаимно однозначным отображением, бесконечно дифференцируемым в обоих направлениях) между сферой (без точки (0, 0, 1)) и открытым диском радиуса 2. Это конформное отображение, сохраняющее площади (равновеликое), что можно увидеть, вычислив элемент площади сферы, параметризованный обратной проекцией. Это означает, что измерение площади области на сфере эквивалентно измерению площади соответствующей области на диске. С другой стороны, проекция не сохраняет угловые отношения между кривыми на сфере. Ни одно отображение части сферы на плоскость не может одновременно сохранять и углы, и площади. (Если бы это было возможно, то это была бы локальная изометрия и сохраняла бы гауссову кривизну; но сфера и диск имеют разную кривизну, поэтому это невозможно.) Тот факт, что плоские изображения не могут идеально представлять области на сфере, является фундаментальной проблемой картографии. Как следствие, области на сфере могут быть спроецированы на плоскость с сильно искаженными формами. Это искажение особенно заметно вдали от центра проекции (0, 0, −1). На практике проекцию часто ограничивают полушарием, центрированным в этой точке; другое полушарие можно отобразить отдельно, используя вторую проекцию, центрированную в антиподальной точке.

Приложения

Азимутальная проекция Ламберта изначально разрабатывалась как равновеликая картографическая проекция. В настоящее время она также используется в таких областях, как геология, для представления направленных данных следующим образом. Направление в трехмерном пространстве соответствует прямой, проходящей через начало координат. Множество всех таких прямых само по себе является пространством, называемым в математике вещественной проективной плоскостью. Каждая прямая, проходящая через начало координат, пересекает единичную сферу ровно в двух точках, одна из которых лежит на нижнем полушарии z ≤ 0. (Горизонтальные линии пересекают экватор z = 0 в двух антиподальных точках. Подразумевается, что антиподальные точки на экваторе представляют собой одну прямую. См. фактор-топологию.) Следовательно, направления в трехмерном пространстве соответствуют (почти идеально) точкам на нижнем полушарии. Это полушарие можно затем изобразить в виде диска радиуса, используя азимутальную проекцию Ламберта. Таким образом, азимутальная проекция Ламберта позволяет отображать направления в виде точек на диске. Благодаря свойству сохранения площади, можно интегрировать по областям вещественной проективной плоскости (пространства направлений), интегрируя по соответствующим областям на диске. Это полезно для статистического анализа направленных данных.

Не только прямые, но и плоскости, проходящие через начало координат, могут быть изображены с помощью азимутальной проекции Ламберта. Плоскость пересекает полушарие по круговой дуге, называемой следом плоскости, которая проецируется вниз в кривую (обычно некруговую) на диске. Можно изобразить эту кривую, либо заменить плоскость перпендикулярной ей прямой, называемой полюсом, и изобразить вместо этого эту прямую. При изображении множества плоскостей, представление полюсов вместо следов дает менее загроможденный график. Исследователи в области структурной геологии используют азимутальную проекцию Ламберта для представления кристаллографических осей и граней, линейных и плоскостных структур в горных породах, плоскостей скольжения на разломах и других линейных и плоских элементов. В этом контексте проекция называется равновеликой полусферической проекцией. Существует также равноугольная полусферическая проекция, определяемая стереографической проекцией. В данном обсуждении подчеркивается вид нижнего полушария изнутри (как это можно увидеть на звездной карте), но некоторые области (например, картография) предпочитают вид извне верхнего полушария z ≥ 0. В действительности, любое полушарие может быть использовано для записи прямых, проходящих через начало координат в трехмерном пространстве.

Анимированная проекция Ламберта

Пусть – два параметра, для которых и Пусть – параметр "времени" (равный высоте или вертикальной толщине оболочки в анимации). Если в пространстве нарисована равномерная прямоугольная сетка, то любая точка в этой сетке преобразуется в точку на сферической оболочке высоты в соответствии с отображением

где Каждый кадр в анимации соответствует параметрическому графику деформированной сетки при фиксированном значении высоты оболочки (от 0 до 2). Физически, – это растяжение (деформированная длина, делённая на начальную длину) бесконечно малых отрезков прямой линии. Это отображение можно преобразовать в отображение, сохраняющее южный полюс неподвижным, используя вместо этого

Независимо от значений , Якобиан этого отображения везде равен 1, что показывает, что это действительно конформное отображение площади на протяжении всей анимации. Это обобщённое отображение включает в себя проекцию Ламберта как частный случай при . Применение: это отображение может помочь в объяснении смысла проекции Ламберта, показывая, как она "разворачивает" сферу на полюсе, преобразуя её в диск без изменения площади, заключённой в ячейках сетки.