Ла́мберт азимутальды тең ауданды проекциясы

Кіріспе

Азимутальды тең аумақты карта проекциясы

Ламберт азимутальды тең аумақты проекциясы – шарды дискке бейнелеудің нақты бір түрі. Ол шардың барлық аймақтарындағы аумақты дәл көрсетеді, бірақ бұрыштарды дәл сақтамайды. Бұл проекцияны 1772 жылы жариялаған швейцариялық математик Иоганн Генрих Ламберттың есімімен аталады. "Зениталь" сөзі "азимуталь" сөзімен мағынасы бірдей болғандықтан, бұл проекция Ламберт зенитальды тең аумақты проекциясы деп те аталады. Ламберт азимутальды проекциясы картографияда карта проекциясы ретінде қолданылады. Мысалы, АҚШ Ұлттық атласы онлайн карта жасаушы қолданбасында ақпаратты көрсету үшін Ламберт азимутальды тең аумақты проекциясын пайдаланады, ал Еуропалық қоршаған орта агенттігі статистикалық талдау және көрсету мақсатында еуропалық карта жасау үшін оны қолдануды ұсынады. Ол геология сияқты ғылыми салаларда үш өлшемді кеңістіктегі сызықтардың бағытын белгілеу үшін де қолданылады. Мұндай белгілеуге Шмидт желісі деп аталатын арнайы түрдегі график қағазы көмектеседі.

Қасиеттері

Алдыңғы бөлімде анықталғандай, бірлік сфераның Ламберт азимуттық проекциясы (0, 0, 1) нүктесінде анықталмаған. Ол шардың қалған бөлігін жазықтықтағы (0, 0) нүктесіне ортайтын, радиусы 2-ге тең ашық дискке бейнелейді. (0, 0, −1) нүктесі (0, 0) нүктесіне, z = 0 экваторы (0, 0) орталығында орналасқан радиус шеңберіне, ал z < 0 төменгі жарты шар сол шеңбердің ішіне орналасқан ашық дискке бейнеленеді. Проекция – бұл сферадан (0, 0, 1 нүктесін қоспағанда) және радиусы 2-ге тең ашық диск арасындағы дифеоморфизм (екі бағытта да шексіз дифференциалданатын өзара тең келу). Проекцияның керісі бойынша параметрленген сфераның ауданы есептелгенде көрінетіндей, бұл проекция ауданды сақтайтын (тең ауданды) бейнелеу. Декарт координаталарында бұл сферадағы бір аймақтың ауданын өлшеу, дисктегі сәйкес аймақтың ауданын өлшеумен бірдей екендігін білдіреді. Алайда, проекция сферадағы қисықтар арасындағы бұрыштық қатынастарды сақтамайды. Сфераның бір бөлігі мен жазықтық арасындағы ешқандай бейнелеу бұрыштар мен аудандарды бірдей сақтай алмайды. (Егер мұндай бейнелеу болса, ол жергілікті изометрия болар еді және Гаусс қисықтығын сақтар еді; бірақ сфера мен дисктің қисықтығы әртүрлі болғандықтан, мұндай бейнелеу мүмкін емес.) Жазық суреттер сфераның аймақтарын толыққанды көрсетуге келмейтіні – осы факт, картографияның негізгі мәселесі болып табылады. Осының салдарынан, сферадағы аймақтар жазықтыққа айқын бұрмаланған түрінде бейнеленуі мүмкін. Бұл бұрмалау проекцияның (0, 0, −1) ортасынан алшақтағанда ерекше байқалады. Іс жүзінде проекция көбінесе осы нүктеге ортайтын жарты шармен шектеледі; ал екінші жарты шарды антиподына ортайтын екінші проекцияны қолдана отырып, жеке бейнелеуге болады.

Қолданбалар

Ламберт азимуттық проекциясы бастапқыда тең ауданы бар карта проекциясы ретінде жасалған. Қазір ол геология сияқты салаларда бағыттық деректерді келесідей бейнелеу үшін қолданылады. Үш өлшемді кеңістіктегі бағыт, бастапқы нүкте арқылы өтетін түзуге сәйкес келеді. Мұндай түзулердің жиынтығы өзі кеңістік болып табылады, математикада ол нақты проективтік жазықтық деп аталады. Бастапқы нүкте арқылы өтетін әрбір түзу, бірлік сфераны екі нүктеде қиып өтеді, олардың біреуі төменгі жарты шардың z ≤ 0 координатасында орналасқан. (Көлденең түзулер экваторды z = 0 екі антиподальді нүктеде қиып өтеді. Экватордағы антиподальді нүктелер бір түзуді білдіреді. Қосымша топологияны қараңыз.) Демек, үш өлшемді кеңістіктегі бағыттар төменгі жарты шардың нүктелерімен (шамамен дерлік) сәйкес келеді. Бұл жарты шарды Ламберт азимуттық проекциясын қолдана отырып, белгілі радиусы бар диск ретінде бейнелеуге болады. Осылайша Ламберт азимуттық проекциясы бағыттарды дисктегі нүктелер түрінде бейнелеуге мүмкіндік береді. Проекцияның тең ауданы бар қасиетіне байланысты, нақты проективтік жазықтықтың (бағыттар кеңістігінің) аймақтарын, дисктегі сәйкес аймақтар арқылы интегралдау арқылы есептеуге болады. Бұл бағыттық деректерді статистикалық талдау үшін өте пайдалы. Ламберт азимуттық проекциясымен тек түзулерді ғана емес, сонымен қатар бастапқы нүкте арқылы өтетін жазықтықтарды да бейнелеуге болады. Жазықтық жарты шарды дөңгелек доғада қиып өтеді, бұл жазықтықтың іздері деп аталады, ол дисктегі қисыққа (көбінесе дөңгелек емес) проекцияланады. Бұл қисықты бейнелеуге болады, немесе жазықтықты оған перпендикуляр түзумен – полюспен алмастырып, осы түзуді бейнелеуге болады. Көптеген жазықтықтар бірге бейнеленген кезде, іздер орнына полюстерді бейнелеу, суретті ықшамдауға көмектеседі. Құрылымдық геологтар Ламберт азимуттық проекциясын кристаллографиялық осьтер мен жақтарын, тау жыныстарындағы бағыттық белгілер мен жапырақтылықты, жарықтардағы сызықтарды және басқа да сызықтық және жазықтық ерекшеліктерді бейнелеу үшін пайдаланады. Бұл жағдайда проекция тең ауданы бар жарты шарлық проекция деп аталады. Стереографиялық проекция арқылы анықталатын тең бұрышты жарты шарлық проекция да бар. Мұндағы талқылау төменгі жарты шардың z ≤ 0 (жұлдыздық картада көрінетіндей) ішкі көзқарасын ерекше атап өтті, бірақ кейбір салалар (мысалы, картография) жоғарғы жарты шардың z ≥ 0 көзқарасын сыртқы көзқарас ретінде қалайды. Шындығында, үш өлшемді кеңістіктегі бастапқы нүкте арқылы өтетін түзулерді бейнелеу үшін кез келген жарты шарды қолдануға болады.

The Lambert azimuthal projection was originally conceived as an equal area map projection. It is now also used in disciplines such as geology to plot directional data, as follows. A direction in three dimensional space corresponds to a line through the origin. The set of all such lines is itself a space, called the real projective plane in mathematics. Every line through the origin intersects the unit sphere in exactly two points, one of which is on the lower hemisphere z ≤ 0. (Horizontal lines intersect the equator z = 0 in two antipodal points. It is understood that antipodal points on the equator represent a single line. See quotient topology.) Hence the directions in three dimensional space correspond (almost perfectly) to points on the lower hemisphere. The hemisphere can then be plotted as a disk of radius using the Lambert azimuthal projection. Thus the Lambert azimuthal projection lets us plot directions as points in a disk. Due to the equal area property of the projection, one can integrate over regions of the real projective plane (the space of directions) by integrating over the corresponding regions on the disk. This is useful for statistical analysis of directional data,

Not only lines but also planes through the origin can be plotted with the Lambert azimuthal projection. A plane intersects the hemisphere in a circular arc, called the trace of the plane, which projects down to a curve (typically non circular) in the disk. One can plot this curve, or one can alternatively replace the plane with the line perpendicular to it, called the pole, and plot that line instead. When many planes are being plotted together, plotting poles instead of traces produces a less cluttered plot. Researchers in structural geology use the Lambert azimuthal projection to plot crystallographic axes and faces, lineation and foliation in rocks, slickensides in faults, and other linear and planar features. In this context the projection is called the equal area hemispherical projection. There is also an equal angle hemispherical projection defined by stereographic projection. The discussion here has emphasized an inside out view of the lower hemisphere z ≤ 0 (as might be seen in a star chart), but some disciplines (such as cartography) prefer an outside in view of the upper hemisphere z ≥ 0. Indeed, any hemisphere can be used to record the lines through the origin in three dimensional space.

Анимацияланған Ламберт проекциясы

Let – екі параметр және Let – "уақыт" параметрі (анимациядағы қабықтың биіктігі немесе тік қалыңдығына тең). Егер кеңістікте біртекті тікбұрышты тор салынса, онда осы тордың кез келген нүктесі биіктігі бар шар тәрізді қабықшадағы нүктеге келесі түрлендіру арқылы өтеді:

мұндағы . Анимациядағы әрбір кадр қабықша биіктігінің белгілі бір мәнінде (0-ден 2-ге дейін) деформацияланған тордың параметрлік графигіне сәйкес келеді. Физикалық тұрғыдан алғанда, – бұл шексіз кішкентай сызық сегменттерінің созылуы (деформацияланған ұзындығының бастапқы ұзындығына қатынасы). Оңтүстік полюсті бекітіп ұстайтын түрлендіруді жасау үшін келесіні пайдалануға болады:

-ның мәніне қарамастан, осы түрлендірудің Якобианы әрқашан 1-ге тең, бұл анимация бойына тең ауданды карталау екенін көрсетеді. Бұл жалпыланған түрлендіру Ламберт проекциясын ерекше жағдай ретінде қамтиды. Қолданылуы: Бұл түрлендіру Ламберт проекциясының мағынасын түсіндіруге көмектеседі, шарды полюсте "жапырып ашуға" және тор клеткаларымен қоршалған ауданы өзгеріссіз дискіге айналдыруға мүмкіндік береді.