Тройное отношение (тернарное отношение) в математике: определение, свойства и примеры. Связь между тройками элементов и функциями. Геометрические примеры.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике, троичное отношение или триадичное отношение — это конечное отношение, в котором число аргументов в отношении равно трём. Троичные отношения также могут называться троичными, трёхместными или трёхмерными. Так же, как бинарное отношение формально определяется как множество пар, то есть подмножество декартова произведения A × B некоторых множеств A и B, троичное отношение является множеством троек, образующих подмножество декартова произведения A × B × C трёх множеств A, B и C.
In mathematics, a ternary relation or triadic relation is a finitary relation in which the number of places in the relation is three. Ternary relations may also be referred to as 3 adic, 3 ary, 3 dimensional, or 3 place. Just as a binary relation is formally defined as a set of pairs, i. e. a subset of the Cartesian product A × B of some sets A and B, so a ternary relation is a set of triples, forming a subset of the Cartesian product A × B × C of three sets A, B and C.
Примером троичного отношения в элементарной геометрии может служить рассмотрение троек точек, где тройка принадлежит отношению, если эти три точки лежат на одной прямой. Другой геометрический пример можно получить, рассматривая тройки, состоящие из двух точек и прямой, где тройка принадлежит троичному отношению, если две точки определяют (лежат на) данной прямой.
An example of a ternary relation in elementary geometry can be given on triples of points, where a triple is in the relation if the three points are collinear. Another geometric example can be obtained by considering triples consisting of two points and a line, where a triple is in the ternary relation if the two points determine (are incident with) the line.
Двойные функции
Функция f: A × B → C в двух переменных, отображающая два значения из множеств A и B соответственно в значение из C, сопоставляет каждой паре (a, b) из A × B элемент f(a, b) из C. Следовательно, её график состоит из пар вида ((a, b), f(a, b)). Такие пары, в которых первый элемент сам является парой, часто отождествляются с тройками. Это делает график f троичным отношением между A, B и C, состоящим из всех троек (a, b, f(a, b)), где a принадлежит A, b принадлежит B, и f(a, b) принадлежит C.
A function f : A × B → C in two variables, mapping two values from sets A and B, respectively, to a value in C associates to every pair (a,b) in A × B an element f(a, b) in C. Therefore, its graph consists of pairs of the form ((a, b), f(a, b)). Such pairs in which the first element is itself a pair are often identified with triples. This makes the graph of f a ternary relation between A, B and C, consisting of all triples (a, b, f(a, b)), satisfying a in A, b in B, and f(a, b) in C.
Циклические ордера
Для любого множества A, элементы которого расположены на окружности, можно определить троичное отношение R на A, то есть подмножество A³ = A × A × A, задав условие, что R(a, b, c) выполняется тогда и только тогда, когда элементы a, b и c попарно различны и при движении от a к c по часовой стрелке мы проходим через b. Например, если элементы представляют часы на циферблате, то R(8, 12, 4) выполняется, а R(12, 8, 4) – нет.
Given any set A whose elements are arranged on a circle, one can define a ternary relation R on A, i. e. a subset of 1=A3 = A × A × A, by stipulating that R(a, b, c) holds if and only if the elements a, b and c are pairwise different and when going from a to c in a clockwise direction one passes through b. For example, if represents the hours on a clock face, then R(8, 12, 4) holds and R(12, 8, 4) does not hold.
Отношения типирования
Отношение типизации Γ ⊢ e:σ указывает, что e является термом типа σ в контексте Γ и, таким образом, представляет собой троичное отношение между контекстами, термами и типами.
A typing relation Γ ⊢ e:σ indicates that e is a term of type σ in context Γ, and is thus a ternary relation between contexts, terms and types.
Правила Шредера
При наличии однородных отношений A, B и C на множестве, тройственное отношение (A, B, C) может быть определено с использованием композиции отношений AB и включения AB ⊆ C. В исчислении отношений каждое отношение A имеет обратное отношение AT и отношение дополнение. Используя эти инволюции, Август Де Морган и Эрнст Шрёдер показали, что (A, B, C) эквивалентно и также эквивалентно . Взаимные эквивалентности этих форм, построенных из тройственного отношения (A, B, C), называются правилами Шрёдера.
Given homogeneous relations A, B, and C on a set, a ternary relation (A, B, C) can be defined using composition of relations AB and inclusion AB ⊆ C. Within the calculus of relations each relation A has a converse relation AT and a complement relation Using these involutions, Augustus De Morgan and Ernst Schröder showed that (A, B, C) is equivalent to and also equivalent to The mutual equivalences of these forms, constructed from the ternary relation (A, B, C), are called the Schröder rules.