Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Тип дифференциального уравнения
Type of differential equation
В математике, дифференциальные уравнения с задержкой (DDE) – это тип дифференциального уравнения, в котором производная неизвестной функции в определенный момент времени задается через значения функции в предыдущие моменты времени. DDE также называют системами с временной задержкой, системами с последействием или мертвым временем, наследственными системами, уравнениями с отклоняющимся аргументом или дифференциально-разностными уравнениями. Они относятся к классу систем с функциональным состоянием, то есть к частным дифференциальным уравнениям (PDE), которые являются бесконечномерными, в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений (ODE), имеющих конечномерный вектор состояния. Четыре момента могут дать возможное объяснение популярности DDE:
In mathematics, delay differential equations (DDEs) are a type of differential equation in which the derivative of the unknown function at a certain time is given in terms of the values of the function at previous times. DDEs are also called time delay systems, systems with aftereffect or dead time, hereditary systems, equations with deviating argument, or differential difference equations. They belong to the class of systems with the functional state, i. e. partial differential equations (PDEs) which are infinite dimensional, as opposed to ordinary differential equations (ODEs) having a finite dimensional state vector. Four points may give a possible explanation of the popularity of DDEs:
Последействие – это прикладная задача: хорошо известно, что вместе с растущими ожиданиями от динамических характеристик инженерам необходимо, чтобы их модели больше соответствовали реальному процессу. Многие процессы включают явления последействия в свою внутреннюю динамику. Кроме того, исполнительные механизмы, датчики и сети связи, которые сейчас вовлечены в контуры управления обратной связью, вносят такие задержки. Наконец, помимо фактических задержек, временные запаздывания часто используются для упрощения моделей очень высокого порядка. В связи с этим интерес к DDE продолжает расти во всех научных областях и, особенно, в области управления. Системы с задержкой по-прежнему устойчивы ко многим классическим регуляторам: можно предположить, что самый простой подход заключался бы в замене их некоторыми конечномерными приближениями. К сожалению, игнорирование эффектов, которые адекватно представлены DDE, не является универсальной альтернативой: в лучшем случае (постоянные и известные задержки) это приводит к той же степени сложности при проектировании управления. В худших случаях (например, при переменных во времени задержках) это может быть катастрофически с точки зрения стабильности и колебаний. Преднамеренное введение задержек может быть полезным для системы управления. Несмотря на свою сложность, DDE часто выступают в качестве простых бесконечномерных моделей в очень сложной области частных дифференциальных уравнений (PDE). Общая форма дифференциального уравнения с временной задержкой для имеет вид
Aftereffect is an applied problem: it is well known that, together with the increasing expectations of dynamic performances, engineers need their models to behave more like the real process. Many processes include aftereffect phenomena in their inner dynamics. In addition, actuators, sensors, and communication networks that are now involved in feedback control loops introduce such delays. Finally, besides actual delays, time lags are frequently used to simplify very high order models. Then, the interest for DDEs keeps on growing in all scientific areas and, especially, in control engineering. Delay systems are still resistant to many classical controllers: one could think that the simplest approach would consist in replacing them by some finite dimensional approximations. Unfortunately, ignoring effects which are adequately represented by DDEs is not a general alternative: in the best situation (constant and known delays), it leads to the same degree of complexity in the control design. In worst cases (time varying delays, for instance), it is potentially disastrous in terms of stability and oscillations. Voluntary introduction of delays can benefit the control system. In spite of their complexity, DDEs often appear as simple infinite dimensional models in the very complex area of partial differential equations (PDEs). A general form of the time delay differential equation for is
где представляет собой траекторию решения в прошлом. В этом уравнении является функциональным оператором из в .
where represents the trajectory of the solution in the past. In this equation, is a functional operator from to
Решение ДДЭ
ДДЭ в основном решаются пошагово, с использованием принципа, называемого методом шагов. Например, рассмотрим ДДУ с одной задержкой
DDEs are mostly solved in a stepwise fashion with a principle called the method of steps. For instance, consider the DDE with a single delay
с заданным начальным условием. Тогда решение на интервале задается выражением , которое является решением неоднородной задачи Коши
with given initial condition Then the solution on the interval is given by which is the solution to the inhomogeneous initial value problem
с . Этот процесс можно продолжать для последующих интервалов, используя решение на предыдущем интервале в качестве неоднородного члена. На практике, задача Коши часто решается численно.
with This can be continued for the successive intervals by using the solution to the previous interval as inhomogeneous term. In practice, the initial value problem is often solved numerically.