Введение
В математике, и особенно в динамических системах, метод усреднения (также называемый теорией усреднения) опирается на системы, содержащие разделение временных масштабов: быстрое колебание в противовес медленному дрейфу. Он предполагает, что мы выполняем усреднение за определенный промежуток времени, чтобы сгладить быстрые колебания и наблюдать качественное поведение результирующей динамики. Приближенное решение справедливо в течение конечного времени, обратно пропорционального параметру, определяющему медленный временной масштаб. Это типичная задача, в которой существует компромисс между точностью приближенного решения и временем, в течение которого оно остается близким к исходному решению. Более конкретно, система имеет следующий вид для фазовой переменной. Быстрое колебание задается в противовес медленному дрейфу . Метод усреднения приводит к автономной динамической системе,
of a phase space variable The fast oscillation is given by versus a slow drift of The averaging method yields an autonomous dynamical system
которая приближает траектории решения внутри связной и компактной области фазового пространства на протяжении времени . Применимость метода усреднения означает, что асимптотическое поведение исходной системы описывается динамическим уравнением для . Таким образом, качественные методы для автономных динамических систем могут быть использованы для анализа равновесий и более сложных структур, таких как медленные многообразия и инвариантные многообразия, а также их стабильности в фазовом пространстве усредненной системы. Кроме того, в физических приложениях может быть целесообразно или естественно заменить математическую модель, заданную в виде дифференциального уравнения для , соответствующей усредненной системой , чтобы использовать усредненную систему для прогнозирования и затем проверить это прогнозирование на основе результатов физического эксперимента. Метод усреднения имеет долгую историю, тесно связанную с задачами теории возмущений, возникшими в небесной механике (см., например, в ).
Under the validity of this averaging technique, the asymptotic behavior of the original system is captured by the dynamical equation for In this way, qualitative methods for autonomous dynamical systems may be employed to analyze the equilibria and more complex structures, such as slow manifold and invariant manifolds, as well as their stability in the phase space of the averaged system. In addition, in a physical application it might be reasonable or natural to replace a mathematical model, which is given in the form of the differential equation for , with the corresponding averaged system , in order to use the averaged system to make a prediction and then test the prediction against the results of a physical experiment. The averaging method has a long history, which is deeply rooted in perturbation problems that arose in celestial mechanics (see, for example in ).
Определения
Предполагаем, что векторное поле принадлежит классу дифференцируемости с (или даже просто гладкое), который мы будем обозначать . Мы раскладываем это зависящее от времени векторное поле в ряд Тейлора по степеням с остаточным членом. Вводим следующие обозначения: Редукция регулярности: существует более общая форма этой теоремы, требующая лишь липшицевости и непрерывности . Более позднее доказательство можно найти в работе Sanders et al.
Reduction of regularity: there is a more general form of this theorem which requires only to be Lipschitz and continuous. It is a more recent proof and can be seen in Sanders et al
Стратегия доказательства
Крылов и Боголюбов осознали, что медленная динамика системы определяет главный член асимптотического решения. Чтобы это доказать, они предложили преобразование, близкое к тождественному, которое оказалось преобразованием координат с собственной временной шкалой, переводящим исходную систему в усредненную.