Введение
В математике, множество ИП – это множество натуральных чисел, которое содержит все конечные суммы некоторого бесконечного множества. Конечные суммы множества D натуральных чисел – это все числа, которые можно получить, суммируя элементы некоторого конечного непустого подмножества D. Множество всех конечных сумм по множеству D часто обозначается как FS(D). В более общем случае, для последовательности натуральных чисел (nᵢ) можно рассматривать множество конечных сумм FS((nᵢ)), состоящее из сумм всех подпоследовательностей конечной длины последовательности (nᵢ). Множество A натуральных чисел является ИП-множеством, если существует бесконечное множество D, такое что FS(D) является подмножеством A. Эквивалентно, можно потребовать, чтобы A содержало все конечные суммы FS((nᵢ)) последовательности (nᵢ). Некоторые авторы дают несколько иное определение ИП-множеств: они требуют, чтобы FS(D) равнялось A, а не просто было подмножеством. Термин "множество ИП" был введен Гилелем Фурстенбергом и Бенджамином Вайсом как сокращение от "параллелепипед бесконечных измерений". Интересно, что аббревиатуру ИП также можно расшифровать как "идемпотентный" (множество является ИП-множеством тогда и только тогда, когда оно является элементом идемпотентного ультрафильтра).
The set of all finite sums over D is often denoted as FS(D). Slightly more generally, for a sequence of natural numbers (ni), one can consider the set of finite sums FS((ni)), consisting of the sums of all finite length subsequences of (ni). A set A of natural numbers is an IP set if there exists an infinite set D such that FS(D) is a subset of A. Equivalently, one may require that A contains all finite sums FS((ni)) of a sequence (ni). Some authors give a slightly different definition of IP sets: They require that FS(D) equal A instead of just being a subset. The term IP set was coined by Hillel Furstenberg and Benjamin Weiss to abbreviate "infinite dimensional parallelepiped". Serendipitously, the abbreviation IP can also be expanded to "idempotent" (a set is an IP if and only if it is a member of an idempotent ultrafilter).
Теорема Хиндмана
Если является IP-множеством и , то хотя бы одно из них является IP-множеством. Это известно как теорема Хиндмана или теорема о конечных суммах. Иными словами, теорема Хиндмана утверждает, что класс IP-множеств является регулярно разбиваемым. Поскольку само множество натуральных чисел является IP-множеством, а разбиения также можно рассматривать как раскраски, можно переформулировать частный случай теоремы Хиндмана в более привычных терминах: предположим, что натуральные числа "окрашены" в n различных цветов; каждое натуральное число получает ровно один цвет. Тогда существует цвет c и бесконечное множество D натуральных чисел, все окрашенные в цвет c, такое что любая конечная сумма элементов из D также имеет цвет c.
Теорема Хиндмана названа в честь математика Нила Хиндмана, который доказал её в 1974 году.