Введение
Конструкция в проективной геометрии
В математике алгебраическая структура, состоящая из непустого множества и троичного отображения, может называться тройной системой. Плоское тройное кольцо (PTR) или тройное поле — это специальный тип тройной системы, используемый Маршаллом Холлом для построения проективных плоскостей посредством координат. Плоское тройное кольцо не является кольцом в традиционном смысле, но любое поле порождает плоское тройное кольцо, где операция определяется как . Таким образом, плоское тройное кольцо можно рассматривать как обобщение поля, в котором троичная операция заменяет как сложение, так и умножение. Терминология весьма разнообразна. Плоские тройные кольца или тройные поля, как они определены здесь, в литературе могут встречаться под другими названиями, а термин «плоское тройное кольцо» может обозначать вариант системы, определенной здесь. Термин «тройное кольцо» часто подразумевает плоское тройное кольцо, но также может означать просто тройную систему.
In mathematics, an algebraic structure consisting of a non empty set and a ternary mapping may be called a ternary system. A planar ternary ring (PTR) or ternary field is special type of ternary system used by Marshall Hall to construct projective planes by means of coordinates. A planar ternary ring is not a ring in the traditional sense, but any field gives a planar ternary ring where the operation is defined by Thus, we can think of a planar ternary ring as a generalization of a field where the ternary operation takes the place of both addition and multiplication. There is wide variation in the terminology. Planar ternary rings or ternary fields as defined here have been called by other names in the literature, and the term "planar ternary ring" can mean a variant of the system defined here. The term "ternary ring" often means a planar ternary ring, but it can also simply mean a ternary system.
Добавление
Определите структуру как цикл с нейтральным элементом 0.
Умножение
Определите. Множество является замкнутым относительно этого умножения. Структура также является петлей с единичным элементом 1.
Линейный PTR
Плоское тройственное кольцо называется линейным, если Для примера, плоское тройственное кольцо, ассоциированное с квазиполем, является линейным (по построению).
Интуиция
Связь между плоскими тройными кольцами (PTR) и двумерными геометриями, в частности проективной и аффинной геометрией, лучше всего описать, сначала рассмотрев аффинный случай. В аффинной геометрии точки на плоскости описываются с использованием декартовых координат, метод, который применим даже в недесаргусовых геометриях — там компоненты координат всегда можно показать подчиняющимися структуре PTR. В отличие от этого, однородные координаты, обычно используемые в проективной геометрии, недоступны в недесаргусовых контекстах. Таким образом, самый простой аналитический способ построения проективной плоскости — начать с аффинной плоскости и расширить её, добавив «линию на бесконечности»; это позволяет избежать использования однородных координат. В аффинной плоскости, когда плоскость является десаргусовой, линии можно представить в форме уравнения с угловым коэффициентом и точкой пересечения с осью. Это представление распространяется на недесаргусовы плоскости посредством тройной операции PTR, позволяя выражать линию как. Линии, параллельные оси y, выражаются как. Теперь мы покажем, как получить аналитическое представление общей проективной плоскости, заданной в начале этого раздела. Для этого мы переходим от аффинной плоскости, представленной как , к представлению проективной плоскости , добавляя линию на бесконечности. Формально проективная плоскость описывается как , где представляет собой аффинную плоскость в декартовых координатах и включает в себя все конечные точки, а обозначает линию на бесконечности. Аналогично, выражается как. Здесь — аффинная линия, которой мы задаём свою собственную декартову систему координат, а состоит из одной точки, не лежащей на этой аффинной линии, которую мы представляем символом .
We now show how to derive the analytic representation of a general projective plane given at the start of this section. To do so, we pass from the affine plane, represented as , to a representation of the projective plane , by adding a line at infinity. Formally, the projective plane is described as , where represents an affine plane in Cartesian coordinates and includes all finite points, while denotes the line at infinity. Similarly, is expressed as Here, is an affine line which we give its own Cartesian coordinate system, and consists of a single point not lying on that affine line, which we represent using the symbol .