Введение

В численном анализе метод Стоуна, также известный как сильно неявная процедура или SIP, является алгоритмом для решения разреженной системы линейных уравнений. Метод использует неполное LU-разложение, которое аппроксимирует точное LU-разложение, для получения итерационного решения задачи. Метод назван в честь Гарольда С. Стоуна, который предложил его в 1968 году. LU-разложение является эффективным универсальным решателем линейных уравнений. Основной недостаток заключается в том, что оно не использует преимущество разреженности коэффициентной матрицы. LU-разложение разреженной матрицы обычно не является разреженным, поэтому для большой системы уравнений LU-разложение может потребовать чрезмерного объема памяти и количества арифметических операций. В предобусловленных итерационных методах, если матрица предобуславливания M является хорошим приближением к коэффициентной матрице A, то сходимость будет быстрее. Это подводит к идее использования приближенной LU-факторизации A в качестве итерационной матрицы M.

Стоун предложил вариант метода неполного нижне-верхнего разложения в 1968 году. Этот метод предназначен для систем уравнений, возникающих при дискретизации уравнений в частных производных, и впервые был применен к пятидиагональной системе уравнений, полученной при решении эллиптического уравнения в частных производных в двумерном пространстве методом конечных разностей. Аппроксимация LU-разложения рассматривалась в той же пятидиагональной форме, что и исходная матрица (три диагонали для L и три диагонали для U), как наилучшее соответствие семи возможным уравнениям для пяти неизвестных в каждой строке матрицы.