Введение
Последовательность, в которой каждая конечная строка встречается как подпоследовательность. Дизъюнктивная последовательность – это бесконечная последовательность (над конечным алфавитом символов), в которой каждая конечная строка встречается как подстрока. Например, двоичная последовательность Чамперноуна, сформированная конкатенацией всех двоичных строк в лексикографическом порядке по длине, очевидно содержит все двоичные строки и, следовательно, является дизъюнктивной. (Пробелы выше не имеют значения и приведены исключительно для наглядного отделения строк друг от друга). Функция сложности дизъюнктивной последовательности S над алфавитом размера k равна pS(n) = kn. Любая нормальная последовательность (последовательность, в которой каждая строка заданной длины встречается с одинаковой частотой) является дизъюнктивной, но обратное неверно. Например, если 0n обозначает строку длины n, состоящую только из нулей, рассмотрим последовательность, полученную вставкой экспоненциально длинных строк из нулей в лексикографический порядок по длине всех двоичных строк. Большая часть этой последовательности состоит из длинных последовательностей нулей, и поэтому она не является нормальной, но при этом остаётся дизъюнктивной. Дизъюнктивная последовательность является рекуррентной, но никогда не является равномерно рекуррентной/почти периодической.
A disjunctive sequence is an infinite sequence (over a finite alphabet of characters) in which every finite string appears as a substring. For instance, the binary Champernowne sequence
formed by concatenating all binary strings in shortlex order, clearly contains all the binary strings and so is disjunctive. (The spaces above are not significant and are present solely to make clear the boundaries between strings). The complexity function of a disjunctive sequence S over an alphabet of size k is pS(n) = kn. Any normal sequence (a sequence in which each string of equal length appears with equal frequency) is disjunctive, but the converse is not true. For example, letting 0n denote the string of length n consisting of all 0s, consider the sequence
obtained by splicing exponentially long strings of 0s into the shortlex ordering of all binary strings. Most of this sequence consists of long runs of 0s, and so it is not normal, but it is still disjunctive. A disjunctive sequence is recurrent but never uniformly recurrent/almost periodic.
Богатые числа
Богатое число или дисъюнктивное число — это действительное число, разложение которого по некоторому основанию b является дисъюнктивной последовательностью над алфавитом {0, 1, ..., b-1}. Каждое нормальное число в основании b является дисъюнктивным, но не наоборот. Действительное число x является богатым в основании b тогда и только тогда, когда множество {x bⁿ mod 1} плотно в единичном интервале. Число, которое является дисъюнктивным для каждого основания, называется абсолютно дисъюнктивным или лексиконом. Каждая строка в любом алфавите встречается в лексиконе. Множество называется "комеагером" или "остаточным", если оно содержит пересечение счётного семейства открытых плотных множеств. Множество абсолютно дисъюнктивных действительных чисел остаточно. Предполагается, что каждое действительное иррациональное алгебраическое число является абсолютно дисъюнктивным.