Введение

Формула для числа орбит группового действия

Теорема перечисления Поля, также известная как теорема Редфилда — Поля и метод подсчёта Поля, — это теорема в комбинаторике, которая как следует из, так и в конечном счёте обобщает лемму Бернсайда о числе орбит группового действия на множестве. Теорема была впервые опубликована Дж. Говардом Редфилдом в 1927 году. В 1937 году она была независимо повторно открыта Джорджем Поля, который затем значительно популяризировал этот результат, применив его ко многим задачам подсчёта, в частности, к перечислению химических соединений. Теорема перечисления Поля была включена в символическую комбинаторику и теорию комбинаторных видов.

Упрощенная, не взвешенная версия

Пусть X — конечное множество, а G — группа перестановок X (или конечная группа симметрии, действующая на X). Множество X может представлять собой конечное множество бусин, а G — выбранную группу перестановок этих бусин. Например, если X — ожерелье из n бусин, расположенных по кругу, то важна вращательная симметрия, поэтому G — циклическая группа Cn, а если X — браслет из n бусин, расположенных по кругу, то важны вращения и отражения, поэтому G — диэдрическая группа Dn порядка 2n. Предположим далее, что Y — конечное множество цветов — цветов бусин, так что YX — множество раскрашенных расположений бусин (более формально: YX — множество функций). Тогда группа G действует на YX. Теорема перечисления Пойа подсчитывает количество орбит под действием G раскрашенных расположений бусин по следующей формуле:

где — число цветов, а c(g) — число циклов элемента группы g, рассматриваемого как перестановка X.