Кіріспе
Топтық әрекеттің орбиталарының санының формуласы – Поляның санау теоремасы, сондай-ақ Редфилд–Поля теоремасы және Поля санауы деп те аталады. Бұл комбинаторика саласындағы теорема, ол Бёрнсайд леммасынан туындайды және жиынтаққа топтық әрекеттің орбиталарының санын жалпылайды. Теорема алғаш рет 1927 жылы Дж. Говард Редфилд жариялаған. 1937 жылы Джордж Поля оны тәуелсіз түрде қайта ашқан, содан кейін оны көптеген санау мәселелеріне, әсіресе химиялық қосылыстарды санауға қолдану арқылы кеңінен танымал еткен. Поляның санау теоремасы символдық комбинаторика мен комбинаторлық түрлер теориясына енгізілген.
The Pólya enumeration theorem, also known as the Redfield–Pólya theorem and Pólya counting, is a theorem in combinatorics that both follows from and ultimately generalizes Burnside's lemma on the number of orbits of a group action on a set. The theorem was first published by J. Howard Redfield in 1927. In 1937 it was independently rediscovered by George Pólya, who then greatly popularized the result by applying it to many counting problems, in particular to the enumeration of chemical compounds. The Pólya enumeration theorem has been incorporated into symbolic combinatorics and the theory of combinatorial species.
Жайлатылған, салмағы жоқ нұсқа
X шекті жиын болса және G – X элементтерінің пермутацияларының тобы (немесе X-ке әсер ететін шекті симметрия тобы) болсын. X жиынтығы бурандардың шекті жиынтығын бейнелеуі мүмкін, ал G – бурандардың таңдалған пермутацияларының тобы болуы мүмкін. Мысалы, егер X – шеңберде орналасқан n бураннан тұратын әшекей болса, онда айналу симметриясы маңызды, сондықтан G – циклдік топ Cn, ал егер X – шеңберде орналасқан n бураннан тұратын білезік болса, айналулар мен көрістірулер маңызды, сондықтан G – 2n реттік диэдрлік топ Dn. Y – бурандардың түстері болатын түстердің шекті жиынтығы деп есептейік, сондықтан YX – бурандардың түсті орналасуларының жиынтығы (дәлірек айтқанда: YX – функциялар жиынтығы). Онда G тобы YX-ке әсер етеді. Поляның санау теоремасы G астындағы түсті орналасулардың орбиталарының санын келесі формула бойынша есептейді: мұндағы – түстердің саны, ал c(g) – X пермутациясы ретінде қарастырылғанда топтың g элементінің циклдарының саны.
where is the number of colors and c(g) is the number of cycles of the group element g when considered as a permutation of X.