Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Измерение релятивистской скорости
Measure of relativistic velocity
Быстрота – это мера релятивистской скорости. Для одномерного движения быстроты аддитивны. Однако скорости необходимо складывать по формуле сложения скоростей Эйнштейна. При малых скоростях быстрота и скорость почти точно пропорциональны, но при больших скоростях быстрота принимает большее значение, а быстрота света бесконечна. Математически быстроту можно определить как гиперболический угол, определяющий различие между двумя системами отсчета, находящимися в относительном движении, каждая из которых связана с координатами расстояния и времени. Используя обратную гиперболическую функцию artanh, быстрота w, соответствующая скорости v, определяется как где c – скорость света. При малых скоростях w приблизительно равно v / c. Поскольку в теории относительности любая скорость v ограничена интервалом −c < v < c, отношение v / c удовлетворяет −1 < v / c < 1. Обратный гиперболический тангенс имеет в качестве области определения интервал (−1, 1), а в качестве области значений – всю вещественную прямую; то есть интервал −c < v < c отображается на интервал −∞ < w < ∞.
Rapidity is a measure for relativistic velocity. For one dimensional motion, rapidities are additive. However, velocities must be combined by Einstein's velocity addition formula. For low speeds, rapidity and velocity are almost exactly proportional but, for higher velocities, rapidity takes a larger value, with the rapidity of light being infinite. Mathematically, rapidity can be defined as the hyperbolic angle that differentiates two frames of reference in relative motion, each frame being associated with distance and time coordinates. Using the inverse hyperbolic function artanh, the rapidity w corresponding to velocity v is where c is the velocity of light. For low speeds, w is approximately v / c. Since in relativity any velocity v is constrained to the interval −c < v < c the ratio v / c satisfies −1 < v / c < 1. The inverse hyperbolic tangent has the unit interval (−1, 1) for its domain and the whole real line for its image; that is, the interval −c < v < c maps onto −∞ < w < ∞.
История
В 1908 году Герман Минковский объяснил, как преобразование Лоренца можно рассматривать как просто гиперболическое вращение координат пространства-времени, то есть вращение на мнимый угол. Этот угол, таким образом, представляет собой (в одном пространственном измерении) простую аддитивную меру относительной скорости между системами отсчета. Параметр быстроты, заменяющий скорость, был введен в 1910 году Владимиром Варичаком и Э. Т. Уиттакером. Этот параметр был назван быстротой Альфредом Роббом в 1911 году, и этот термин был принят многими последующими авторами, такими как Людвик Сильберштейн (1914), Франк Морли (1936) и Вольфганг Риндлер (2001).
In 1908 Hermann Minkowski explained how the Lorentz transformation could be seen as simply a hyperbolic rotation of the spacetime coordinates, i. e., a rotation through an imaginary angle. This angle therefore represents (in one spatial dimension) a simple additive measure of the velocity between frames. The rapidity parameter replacing velocity was introduced in 1910 by Vladimir Varićak and by E. T. Whittaker. The parameter was named rapidity by Alfred Robb (1911) and this term was adopted by many subsequent authors, such as Ludwik Silberstein (1914), Frank Morley (1936) and Wolfgang Rindler (2001).
Площадь гиперболического сектора
Квадрат гиперболы Грегура де Сен-Винсента установил натуральный логарифм как площадь гиперболического сектора или эквивалентную площадь относительно асимптоты. В теории пространства-времени связь событий посредством света разделяет Вселенную на Прошлое, Будущее или Другое, основываясь на "Здесь и Сейчас". На любой линии в пространстве световой луч может быть направлен влево или вправо. Пусть ось x представляет события, пройденные правым лучом, а ось y – события левого луча. Тогда система отсчета, находящаяся в покое, имеет время вдоль диагонали. Прямоугольная гипербола может быть использована для определения скоростей (в первом квадранте). Нулевая скорость соответствует точке (1,1). Любая точка на гиперболе имеет координаты светового конуса, где w – быстрота, и равная площади гиперболического сектора от (1,1) до этих координат. Многие авторы вместо этого используют единичную гиперболу, принимая быстроту за параметр, как в стандартной диаграмме пространства-времени. Там оси измеряются часами и линейкой – более привычными эталонами, лежащими в основе теории пространства-времени. Таким образом, определение быстроты как гиперболического параметра пространства лучей отсылает к происхождению наших ценных трансцендентных функций в XVII веке и является дополнением к построению диаграмм пространства-времени.
The quadrature of the hyperbola by Grégoire de Saint Vincent established the natural logarithm as the area of a hyperbolic sector or an equivalent area against an asymptote. In spacetime theory, the connection of events by light divides the universe into Past, Future, or Elsewhere based on a Here and Now On any line in space, a light beam may be directed left or right. Take the x axis as the events passed by the right beam and the y axis as the events of the left beam. Then a resting frame has time along the diagonal The rectangular hyperbola can be used to gauge velocities (in the first quadrant). Zero velocity corresponds to (1,1). Any point on the hyperbola has light cone coordinates where w is the rapidity, and is equal to the area of the hyperbolic sector from (1,1) to these coordinates. Many authors refer instead to the unit hyperbola using rapidity for a parameter, as in the standard spacetime diagram. There the axes are measured by clock and meter stick, more familiar benchmarks, and the basis of spacetime theory. So the delineation of rapidity as a hyperbolic parameter of beam space is a reference to the seventeenth century origin of our precious transcendental functions, and a supplement to spacetime diagramming.