Введение
Функтор из категории, противоположной категории, в теории категорий, ветви математики, префикс на категории является функтором Если это множество открытых множеств в топологическом пространстве, интерпретируемое как категория, то восстанавливается обычное понятие префикса на топологическом пространстве. Морфизм прешеев определяется как естественное преобразование функторов. Это делает коллекцию всех предварительных сборок в категорию, и является примером категории функторов. Часто записывается как Функтор в иногда называется профунктором. Пресхеф, который естественным образом изморфен к контравариантному хомуфунктору Hom ((, A) для некоторого объекта A из C, называется представляемым пресхефом. Некоторые авторы называют функтора ценным предплеменником.
In category theory, a branch of mathematics, a presheaf on a category is a functor If is the poset of open sets in a topological space, interpreted as a category, then one recovers the usual notion of presheaf on a topological space. A morphism of presheaves is defined to be a natural transformation of functors. This makes the collection of all presheaves on into a category, and is an example of a functor category. It is often written as A functor into is sometimes called a profunctor. A presheaf that is naturally isomorphic to the contravariant hom functor Hom(–, A) for some object A of C is called a representable presheaf. Some authors refer to a functor as a valued presheaf.
Примеры
Симпликационный набор - это предшественник набора в категории симплексов .
Свойства
Когда категория маленькая, категория функтора является картезианской закрытой. Посеть подобъектов формы алгебры Гейтинга, когда объект для маленького для любого морфизма , функтор отката подобъектов имеет правый присоединитель, обозначаемый , и левый присоединитель, Это универсальные и экзистенциальные количественные знаки. Локально маленькая категория полностью и верно встраивается в категорию заданных ценностей через встраивание Йонеды, которое для каждого объекта ассоциирует функцию хома. Категория допускает маленькие пределы и маленькие колимиты. См. лимит и колимит предварительных сборок для дальнейшего обсуждения. Теорема плотности гласит, что каждый прешеф является колимитетом представляемых прешеев; на самом деле, это колимит завершения (см. #Универсальное свойство ниже.)
Варианты
Пресхеф пространств на ∞ категории C является контравариантным функтором от C до ∞ категории пространств (например, нерв категории комплексов CW). Это версия категории ∞ пресс-листа множеств, поскольку "множество" заменяется "пространством". Понятие используется, среди прочего, в формулировке категории ∞ леммы Йонеды, которая говорит: полностью верен (здесь C может быть просто упрощенным множеством).