Введение

Аффиновое пространство над комплексными числами Аффиновая геометрия, в широком смысле, - это изучение геометрических свойств линий, плоскостей и их более высокомерных аналогов, в которых сохраняется понятие "параллель", но не метрические понятия расстояния или угла. Аффиновые пространства отличаются от линейных пространств (то есть векторных пространств) тем, что у них нет выбора происхождения. Итак, по словам Марселя Бергера, "Аффиновое пространство - это не что иное, как векторное пространство, происхождение которого мы пытаемся забыть, добавляя переходы к линейным картам". Соответственно, сложное аффиновое пространство, то есть аффиновое пространство над комплексными числами, подобно сложному векторному пространству, но без отдельной точки, которая служит источником. Аффиновая геометрия - одна из двух основных ветвей классической алгебраической геометрии, другая - проективная геометрия. Сложное аффиновое пространство может быть получено из сложного проективного пространства путем фиксации гиперплоскости, которую можно рассматривать как гиперплоскость идеальных точек "в бесконечности" аффинового пространства. Чтобы проиллюстрировать разницу (по отношению к действительным числам), парабола в аффинной плоскости пересекает линию в бесконечности, тогда как эллипс - нет. Однако любые два конических сечения эквивалентны по проекции. Таким образом, парабола и эллипс одинаковы, когда мыслим о них проективно, но отличаются, когда рассматриваем их как родственные объекты. Немного менее интуитивно, над комплексными числами, эллипс пересекает линию в бесконечности в паре точек, в то время как парабола пересекает линию в бесконечности в одной точке. Таким образом, по несколько другой причине эллипс и парабола не эквивалентны по сложной аффиновой плоскости, но остаются эквивалентными по (сложной) проективной плоскости. Любое сложное векторное пространство является аффинным пространством: все, что нужно сделать, это забыть о происхождении (и, возможно, о любой дополнительной структуре, такой как внутреннее произведение). Например, сложное n пространство может рассматриваться как сложное аффиновое пространство, когда интересуются только его аффиновыми свойствами (в отличие от линейных или метрических свойств, например). Поскольку любые два аффинных пространства одного и того же измерения являются изоморфными, в некоторых ситуациях целесообразно идентифицировать их с , с пониманием того, что в конечном итоге имеют значение только аффинно-инвариантные понятия. Это использование очень распространено в современной алгебраической геометрии.

Сродственная структура

Существует несколько эквивалентных способов указания аффинной структуры n-мерного комплексного аффинного пространства A. Простейший из них включает в себя вспомогательное пространство V, называемое пространством разницы, которое является векторным пространством над комплексными числами. Тогда аффиновое пространство представляет собой множество A вместе с простым и транзитивным действием V на A. (То есть, A - это V-торсор.) Другой способ - определить понятие аффиновой комбинации, удовлетворяя определенным аксиомам. Аффиновое сочетание точек "p'1, "p'k "A" выражается как сумма формы, где скаляры ai - это комплексные числа, сумма которых равна единице. Пространство различий можно идентифицировать с набором "формальных различий" 'p' − 'q', модулируя отношение, что формальные различия уважительно относятся к аффинным комбинациям.

Двумерность

Комплексная аффиновая плоскость - это двумерное аффиновое пространство над комплексными числами. Примером является двумерное комплексное координатное пространство, которое имеет естественную линейную структуру и таким образом наследует аффинную структуру под забывчивым функтором. Другой пример - множество решений второго порядка однородного линейного обычного дифференциального уравнения (над комплексными числами). Наконец, по аналогии с одномерным случаем, пространство расщеплений точной последовательности является аффинным пространством второго измерения.

Четыре измерения

Конформальная спиновая группа группы Лоренца SU(2,2), которая действует на четырехмерное комплексное векторное пространство T (называемое пространством твистора). Конформальная группа Понкаре, как подгруппа SU(2,2), стабилизирует точную последовательность формы, где Π является максимальным изотропным подпространством T. Пространство расщеплений этой последовательности является четырехмерным аффинным пространством: (сложным) пространством Минковского.

Сродственные координаты

Пусть A является n-мерным аффинным пространством. Набор n аффинно независимых аффинных функций является аффинной системой координат на A. Аффиновая система координат на A создает биекцию A с комплексным координатным пространством , элементы которого являются n тупулами комплексных чисел . И наоборот, иногда называют комплексным аффином n пространством, где понимается, что его структура как аффинового пространства (в отличие, например, от его статуса линейного пространства или координатного пространства) представляет интерес. Такое использование типично для алгебраической геометрии.

Связанное проективное пространство

Комплексное аффинное пространство A имеет каноническую проективную завершенность P ((A), определяемую следующим образом. Формируем векторное пространство F ((A), которое является свободным векторным пространством на A модулем отношений, что аффиновые комбинации в F ((A) согласуются с аффиновыми комбинациями в A. Тогда 1=dim F (('A') = n + 1, где n - размерность A. Проективным завершением А является проективное пространство одномерных сложных линейных подпространств F ((A).

Структурная группа и автоморфизмы

Группа 1=Aut{\displaystyle \Aut{\text{P}}} = PGL{\text{\text{F}}} PGL{\text{\text{\text{n}}} + 1, "C") действует на P{\text{\text{A}}} . Стабилизатор гиперплоскости в бесконечности представляет собой подгруппу параболических, которая является группой автоморфизма А. Она изоморфна (но не естественно изоморфна) полупрямому произведению групп GL (('V') и V. Подгруппа GL (('V') является стабилизатором некоторой фиксированной точки отсчета o (начало) в A, действуя как линейная группа автоморфизма пространства вектора, исходящего от o, и V действует путем трансляции. Автоморфическая группа проективного пространства "P'('A') как алгебраического разнообразия - это не что иное, как группа коллинеаций PGL(F('A')). В отличие от этого, группа автоморфизма аффинного пространства A как алгебраического разнообразия намного больше. Например, рассмотрим самокарту аффинной плоскости, определенную в терминах пары аффинных координат, где f является многочленом в одной переменной. Это автоморфизм алгебраического разнообразия, но не автоморфизм аффиновой структуры. Якобийский детерминант такого алгебраического автоморфизма обязательно является ненулевой постоянной. Считается, что если якобийская константа самокарты сложного аффинного пространства не равна нулю, то карта является (алгебраическим) автоморфизмом. Это известно как Якобианская гипотеза.

Сложная структура

Функция на сложном аффинном пространстве является голоморфной, если её комплексный конъюгат является производным Лей вдоль разностного пространства V. Это дает любому сложному аффинному пространству структуру сложного многообразия. Каждая аффинная функция от А до комплексных чисел голоморфна. Следовательно, так же как и каждый полином в аффинных функциях.

Топологии

Существует две топологии на сложном аффином пространстве, которые обычно используются. Аналитическая топология - это начальная топология для семейства аффинных функций в комплексные числа, где комплексные числа несут свою обычную евклидовую топологию, индуцированную комплексным абсолютным значением как норму. Это также начальная топология для семейства голоморфных функций. Аналитическая топология имеет основу, состоящую из полидисков. В зависимости от любых n независимых аффинных функций на A, единичный полидиск определяется как любое открытое множество в аналитической топологии, являющееся соединением счетной коллекции единичных полидисков. Топология Зариски является начальной топологией для аффинных комплексных оцененных функций, но вместо этого дает сложной прямой топологию конечного комплемента. Так, в топологии Зариски, подмножество A закрыто, если и только если оно является нулевым множеством некоторого набора сложных оцененных многочленных функций на A. Суббазой топологии Зариски является коллекция комплектов неснижаемых алгебраических множеств. Аналитическая топология более тонка, чем топология Зариски, что означает, что каждое множество, открытое в топологии Зариски, также открыто в аналитической топологии. Обратное не так. Например, полидиск открыт в аналитической топологии, но не в топологии Зариски. Метрику можно определить на сложном аффинном пространстве, сделав его евклидовой пространством, выбрав внутреннее произведение на V. Расстояние между двумя точками p и q A затем дается в терминах ассоциированной нормы на V. Открытые шары, связанные с метрикой, образуют основу топологии, которая такая же, как аналитическая топология.

Сборник аналитических функций

Семья голоморфных функций на сложном аффинном пространстве А образует на нем сноп колец. По определению, такая связка ассоциирует с каждым (аналитическим) открытым подмножеством U от A кольцо всех комплексных оцененных голоморфных функций на U. Уникальность аналитического продолжения говорит о том, что если две голоморфные функции на соединенном открытом подмножестве U из Cn совпадают на непустом открытом подмножестве U, они согласны на U. С точки зрения теории снопов, уникальность подразумевает, что , рассматриваемое как пространство étalé, является топологическим пространством Хаусдорфа. Теорема о когерентности Оки гласит, что букет структуры сложного аффинного пространства является когерентным. Это фундаментальный результат в теории функций нескольких сложных переменных; например, это сразу же подразумевает, что букет структуры сложного аналитического пространства (например, сложного многообразия) является когерентным. Каждое сложное аффинное пространство является доменом голоморфии. В частности, это коллектор Штейна.