Введение

Сектор, также известный как правило сектора, пропорциональный компас или военный компас, был основным вычислительным инструментом, используемым с конца шестнадцатого века до девятнадцатого века. Это инструмент, состоящий из двух линейных линий одинаковой длины, соединенных шарниром. На приборе нанесен ряд шкал, которые облегчают различные математические вычисления. Он использовался для решения задач пропорциональности, умножения и деления, геометрии и тригонометрии, а также для вычисления различных математических функций, таких как квадратные корни и кубические корни. Его несколько масштабов позволили легко и непосредственно решать проблемы в артиллерии, геодезии и навигации. Сектор получил свое название от четвертого предложения шестой книги Евклида, где было показано, что похожие треугольники имеют пропорциональные стороны. Некоторые секторы также включали квадрант, а иногда и зажим на конце одной ноги, что позволяло использовать устройство в качестве квадранта артиллериста.

История

Сектор был изобретен, по существу одновременно и независимо, рядом разных людей до начала 17-го века. Фабрицио Морденте (1532 - 1608) - итальянский математик, наиболее известный своим изобретением "пропорционального восьмиконечного компаса", который имеет две руки с курсорами, позволяющими решать задачи по измерению окружности, площади и углов круга. В 1567 году он опубликовал в Венеции трактат на одном листе, в котором были иллюстрации его устройства. В 1585 году Джордано Бруно использовал компас Морденте, чтобы опровергнуть гипотезу Аристотеля о несоизмеримости бесконечно малых величин, тем самым подтвердив существование "минима", которое заложило основу его собственной атомной теории. Гидобальдо дель Монте разработал "полиметрический компас" около 1670 года, включая шкалу для построения регулярных многоугольников. Итальянский астроном Галилео Галилей добавил дальнейшие масштабы в 1590-х годах и опубликовал книгу по этому вопросу в 1606 году. Сектор Галилея был сначала разработан для военных применений, но превратился в инструмент для вычислений общего назначения. Два самых ранних известных сектора в Англии были сделаны Робертом Бекитом и Чарльзом Уитвелом, соответственно, оба датированы 1597 годом. Они очень похожи на описание устройства, данное английским математиком Томасом Худом в его книге 1598 года. Описанный сектор Худа был предназначен для использования в качестве геодезического прибора и включал прицелы и монтажную розетку для прикрепления прибора к столбу или столбу, а также луковую шкалу и дополнительную скользящую ногу. В 1600-х годах британский математик Эдмунд Гюнтер отказался от аксессуаров, но добавил дополнительные шкалы, включая меридианную линию с разделениями, пропорциональными расстоянию между широтами вдоль меридиана на проекции Меркатора, частным образом распространяя латинскую рукопись, объясняющую ее постройку и использование. Гюнтер опубликовал это на английском языке как De Sectore et Radio в 1623 году.

Сектор "Галилео"

Галилей впервые разработал свой сектор в начале 1590-х годов как инструмент для артиллеристов. К 1597 году он превратился в инструмент, который имел гораздо более широкую полезность. Его можно использовать, например, для расчета площади любой плоской фигуры, построенной из комбинации прямых линий и полукругов. Галилей был полон решимости улучшить свой сектор, чтобы его можно было использовать для расчета площади любой формы, обсуждаемой в "Элементах" Евклида. Для этого ему нужно было добавить возможность вычислить площадь круговых сегментов. Ему потребовалось больше года, чтобы решить эту проблему. Инструмент, который мы знаем сегодня как сектор Галилея, - это версия с этим дополнительным возможностью, которую он начал производить в 1599 году с помощью производителя инструментов Марка Антонио Маццолени. Галилей обеспечивал Маццолени и его семью жильем и питанием, а также платил ему две трети от 35 лир продажной цены; Галилей взимал 120 лир за курс обучения использованию инструмента, что составляло около половины годовой заработной платы квалифицированного мастера. Большинство его клиентов были богатыми дворянами, в том числе эрцгерцог Фердинанд, которому Галилей продал сектор, сделанный из серебра. Всего было сделано более ста экземпляров, но известно, что сегодня сохранились только три: один в галерее Путнэма в Гарвардском университете, один в Музее декоративного искусства в Миланском Кастелло Сфорческо и один в Музее Галилея во Флоренции. Галилей описал, как выполнять 32 различных расчета с сектором в своем руководстве 1606 года. В введении Галилей писал, что его намерение в создании сектора заключалось в том, чтобы дать возможность людям, которые не изучали математику, выполнять сложные вычисления, не зная связанных с этим математических деталей. Сектор использовался в сочетании с делителем, также называемым компасом. Каждая рука сектора была отмечена четырьмя линиями спереди и тремя сзади, а у поворота была яма, которая принимала бы точку разделителя. Линии и чешуи на каждой руке были идентичны, и расположены в том же порядке, как вы перемещались от внутреннего к внешнему краю, таким образом, образуя семь пар линий. Все расчеты можно было бы выполнить с помощью комбинации пяти очень простых шагов: измерение некоторой длины, разделения или ширины объекта с помощью разделителя; открытие рук сектора и установление поперечного расстояния между двумя соответствующими точками на паре линий до разделения разделителя; измерение поперечного расстояния между двумя соответствующими точками на паре линий после того, как сектор был установлен на некоторое разделение; считывание значения из одной из шкал в точке, где поперечные расстояния соответствуют разделению разделителя; и считывание значения со шкалы, где расстояние от поворота соответствует разделителю. Галилей не описал, как были построены весы, он считал это коммерческой тайной, но подробности можно вывести. Знаки на шкале были установлены с точностью около 1%.

Арифметические линии

Самые внутренние шкалы инструмента называются арифметическими линиями из их деления в арифметической прогрессии, то есть линейной шкалой. Сектор в музее Галилея отмечен от 16 до 260. Если мы называем длину от основания, то даны две маркировки с значениями, и соотношения их длины пропорциональны соотношениям чисел. В современной системе обозначения: Галилей описывает, как использовать эти шкалы для разделения линии на несколько равных частей, как измерить любую часть линии, как произвести масштабированную версию фигуры или карты, как решить Золотое правило Евклида (также называемое правилом трех), как преобразовать значение одной валюты в значение другой валюты и как рассчитать сложную стоимость инвестиций. В качестве примера, процедура расчета сложной стоимости инвестиций выглядит следующим образом. Если первоначальная инвестиция равна P0, настраивайте делитель на расстояние от опорного пункта до точки, отмеченной в P0 на арифметических линиях. Откройте прибор и установите расстояние поперечно в точке 100100 на арифметических линиях на расстояние, только что измеренное, до P0. Если процентная ставка за период, скажем, 6%, то установить делитель на расстояние поперечно на 106 106. Поместите делитель на повороте и посмотрите, где другой конец попадает на арифметические линии. Это - стоимость инвестиций в конце первого периода. Теперь снова установите расстояние поперечно на 100 100 до текущего разделения делителя и повторите процедуру столько раз, сколько нужно.

Геометрические линии

Следующий набор линий называется геометрическими линиями, которые имеют шкалу, пронумерованную от 1 до 50, с длинами, пропорциональными квадратному корню, называемым геометрическим, потому что они используются для нахождения геометрического среднего значения и работы с площадями плоских фигур. Если мы называем длину от поворота, то: Галилей описывает, как использовать эти линии для масштабирования фигуры таким образом, чтобы новая фигура имела данное отношение площади к оригиналу, как измерить отношение площади двух похожих фигур, как объединить набор похожих фигур в другую похожую фигуру, чтобы полученная фигура имела объединенную площадь набора, как построить похожую фигуру, площадь которой равна разнице в площади двух других похожих фигур, как найти квадратный корень числа, как расположить N солдат в сетку, где отношение рядов к колоннам является определенным значением, и как найти геометрическое значение двух чисел. В качестве примера, процедура получения аналогичной фигуры, которая имеет объединенную площадь набора аналогичных фигур, выглядит следующим образом: выберите сторону в самой большой фигуре и измерите ее длину с помощью делителя. Откройте сектор и установите расстояние поперечно на какое-то промежуточное значение на геометрических линиях к разделителю, любое число будет делать, скажем, 20. Затем измерите длину соответствующей стороны на каждой из других фигур и прочитайте значение шкалы геометрической линии, где расстояние поперечно соответствует этим длинам. Соберите все показания шкалы, включая 20 изначально установленных. При совокупном значении геометрических линий измеряется расстояние поперечно. Это будет длина стороны фигуры, которая имеет объединенную площадь множества. Затем вы можете использовать арифметическую шкалу для масштабирования всех других длин сторон в наибольшей фигуре, чтобы соответствовать. Эта процедура будет работать для любой закрытой фигуры, сделанной из прямых линий. Процедура вычисления квадратного корня варьируется в зависимости от размера радиканта. Для "среднего" числа ("в районе 5000") начните с измерения расстояния от опорного пункта до точки, отмеченной 40 на арифметических линиях, и установите поперечное расстояние сектора на 1616 на геометрических линиях на это расстояние. Затем возьмите число и делите на 100, округляя до ближайшего целого числа. Например, 8679 становится 87. Если это число больше 50 (самое большое значение в шкале геометрических линий), то его нужно уменьшить, в этом примере, возможно, разделить на 3 и получить 29. Далее измеряем расстояние поперечно по геометрическим линиям на 29, это расстояние по арифметическим линиям представляет из-за того, что наше число было уменьшено, чтобы соответствовать сектору, мы должны масштабировать длину вверх Мы можем выбрать любое удобное значение, например 10, установив сектор поперечное расстояние на 10 до разделителя разделения, а затем измерять поперечное расстояние на 30 по геометрическим линиям, затем поместить разделителя против арифметических линий, чтобы измерить, что достаточно близко к Процедура вычисления квадратного корня small числа, число around 100, проще: мы не беспокоимся деление на 100 в начале, но в остальном выполняем ту же процедуру. В конце, делите полученную оценку квадратного корня на 10. Для "больших" чисел ("около 50 000") настраивайте сектор поперечно на 1010 на геометрических линиях на расстояние от опорного пункта до точки на 100 на арифметических линиях. Разделяем число на 1000 и округляем до ближайшего целого числа. Затем следуйте аналогичной процедуре, как и раньше. Галилей не дает никаких дальнейших указаний или уточнений. Знание того, какую процедуру использовать для данного числа, требует некоторой мысли и понимания распространения неопределенности.

Стереометрические линии

Стереометрические линии называются так потому, что они связаны со стереометрией, геометрией трехмерных объектов. Шкала отмечена до 148, а расстояние от поворота пропорционально кубическому корню. Если мы называем длину, то эти линии работают аналогично геометрическим линиям, за исключением того, что они имеют дело с объемами вместо площадей. Галилей описывает, как использовать эти линии для нахождения соответствующей длины стороны в аналогичном твердом теле, где твердое тело имеет данное отношение объема к оригиналу, как определить отношение объема двух аналогичных твердых тел с учетом длины пары соответствующих сторон, как найти длины сторон аналогичного твердого тела, которое имеет объединенный объем множества других аналогичных твердых тел, как найти кубический корень числа, как найти два значения, промежуточные между двумя числами и таким образом, что , и для данного коэффициента масштабирования , и как найти сторону куба, которая имеет тот же объем, что и прямоугольный кубик (квадратная угловая коробка). Чтобы сделать куб прямоугольного кубоида с сторонами, и это равно расчету метода Галилея, сначала используйте геометрические линии, чтобы найти геометрическое среднее двух сторон, затем измерьте расстояние по арифметическим линиям до точки, отмеченной с помощью делителя, а затем установите сектор поперечно к этому расстоянию в точке, отмеченной на стереометрических линиях, калибров секторе так, чтобы расстояние от поворота к точке на стереометрических линиях представляло сторону куба с объемом кубоида с сторонами, а затем измерьте расстояние от поворота к точке, отмеченной на арифметических линиях, и посмотрите, на какое значение на стереометрических линиях это расстояние соответствует поперечно, таким образом умножая предыдущее, получая результат, как желательно. Процедура расчета кубических корней аналогична процедуре расчета квадратных корней, за исключением того, что она работает только для значений 1000 и более. Для "средних" чисел сектор устанавливается поперечно на 64 на 64 на стереометрических линиях на расстояние от опорного пункта до точки, отмеченной 40 на арифметических линиях. Затем мы убрали три последние цифры из нашего числа, и если число, которое мы убрали, было больше 500, мы добавили один к остатку. Мы измеряем расстояние поперечно на стереометрических линиях при значении остатка, и помещаем это против арифметических линий, чтобы найти кубический корень. Наибольшее число, которое можно обработать без изменения масштаба, - 148 000. Для "больших" чисел мы устанавливаем сектор поперечно на 100 на 100 на стереометрических линиях на расстояние от поворота до точки 100 на арифметических линиях, и вместо того, чтобы убрать три цифры, мы убрали четыре. Он может принимать числа от 10 000 до 1 480 000 без изменения масштаба. Для практического использования следует использовать среднюю процедуру для всех значений до 148 000, которые не находятся в пределах примерно 2% от кратного числа 10 000.

Металлические линии

Металлические линии, внешняя пара на лицевой стороне, отмечены символами "ORO" (для oro, золота), PIO (для piombo, свинца), "AR" (для argento, серебра), "RA" (для rame, меди), "FE" (для ferro, железа), "ST" (для stagno, олова), "MA" (для marmo, мрамора) и "PIE" (для pietra, камня). Эти символы расположены путем уменьшения специфических весов или плотности, с расстоянием, пропорциональным обратному кубическому корню. Учитывая два материала плотности и если мы называем длину от поворота Соотношение длин на этой шкале пропорционально соотношению диаметров двух шаров одинакового веса, но разных материалов. Эти линии были интересны артиллериям для решения проблемы "изготовления калибра", то есть как выяснить правильный заряд пороха для пушечного шарика определенного размера и материала, когда правильный заряд известен пушечному шарику другого размера и материала. Для этого нужно измерить диаметр пушечного шарика с известным зарядом и установить сектор поперечно на материальном знаке пушечного шарика на металлических линиях с этим диаметром. Расстояние поперечно на второй пушечный материал типа дает вам диаметр пушечного шарика в этом материале, который имеет тот же вес, что и первый шар. Мы должны стереометрически уменьшить эту длину до данного диаметра второго шара, чтобы получить правильный заряд, поэтому мы устанавливаем расстояние поперечно на стереометрических линиях на 100×100 до расстояния поперечно, которое мы только что измерили с металлических линий, а затем посмотрим, где расстояние поперечно на стереометрических линиях соответствует фактическому диаметру второго шара. Затем требуемый заряд находится в соотношении этого показателя шкалы к 100 по сравнению с шаром с известным зарядом. Вы можете использовать арифметические линии для масштабирования веса заряда в этом соотношении.

Тетрагонические линии

Тетрагоновые линии отмечены от 13 вниз до 3, когда вы удаляетесь от опорного пункта, и расстояние от опорного пункта можно определить как , где расстояние от опорного пункта до точки, отмеченной 3. На шкалах есть круг, лежащий почти в середине между 6 и 7. Название происходит от тетрагона (четверосторонний), так как основная цель этих линий - квадратура регулярных многоугольников, то есть нахождение стороны квадрата, площадь которого такая же, как у данного регулярного многоугольника. Они также могут быть использованы для квадрата круга. Площадь регулярного многоугольника с сторонами равна , где длина стороны многоугольника. Радиус круга с равной площадью - это значение, при котором радиус круга равен длине стороны многоугольника, это Конечно, такого многоугольника нет, но это дает нам точку отсчета на тетрагонических линиях, указанном круге, где легко прочитать поперечно радиус круга, который равен по площади многоугольнику с сторонами, если мы установим сектор на тетрагонических линиях поперечно длине стороны многоугольника. Чтобы вывести многоугольник в квадрат, мы просто установим сектор поперечно на длину стороны, и измеряем поперечно на Это так же легко найти требуемые длины сторон для любых двух многоугольников одинаковой площади с разным количеством сторон.

Добавленные строки

На заднем плане самый внешний набор линий имеет двойную шкалу, внешнюю и внутреннюю. Внешняя шкала линейная и идет от 18 до 0, когда вы отходят от поворота, а нулевая точка отмечена , символом круглого сегмента. Эта нулевая точка примерно на 70% от расстояния вдоль руки. Внутренняя шкала также описывается как от 18 до 0, но сектор в музее Галилея отмечен только от 17. Нулевая точка на внутренней шкале находится дальше на руке, на расстоянии от того, где находится расстояние от поворота до нуля на внешней шкале, и нуль отмечен маленьким квадратом. Внешний нулевой пункт лежит рядом с точкой, отмеченной 6 на внутреннем уровне. На первый взгляд внутренняя шкала также кажется линейной, но ее расстояния между точками на самом деле определяются довольно сложной формулой, которую мы должны сделать вывод, поскольку Галилей не описывает, как была построена эта шкала. Название этих линий происходит от того, что они были добавлены Галилео в более раннюю версию его сектора. Эти линии используются для квадратизации круговых сегментов, то есть для нахождения длины стороны квадрата, которая равна по площади круговому сегменту с заданной длиной и высотой струны, где сегмент составляет максимум полукруг. Процедура квадратизации круглого сегмента выглядит следующим образом. Измерьте половину длины струны, В середине струны измерить длину прямоугольной линии к струне, где она пересекает круг, высота Назначить сектор поперечно на добавленные линии на нулевой внешней шкале до половины длины струны, Найти точку на внешней шкале, , где поперечное расстояние равняется ; должно быть меньше или равное переместить к точке на внутренней шкале, которая также отмечена Поперечное расстояние между точками n n на внутренней шкале является длиной стороны квадрата, равной по площади круговому сегменту. Чтобы понять, как это работает, мы начинаем с того, что отмечаем (как видно на рисунке в круговом сегменте), что площадь сегмента - это разница между площадью куска пирога, определяемой тем, где струна пересекает круг, и треугольником, образованным струной и двумя радиусами, которые касаются концов струны. Основа треугольника имеет длину , а высота треугольника равна , так что площадь треугольника - это Используя теорему Пифограса, мы можем показать, что площадь кусочка пирога является долей площади круга, покрытой углом, ибо в радианах эта площадь равна , где обратная синусоидальная функция. Если мы определим , и , то мы можем записать площадь сегмента как Расстояние от опор к точке, отмеченной на внешней шкале, где расстояние от опор к нулевой точке на внешней шкале. Когда мы устанавливаем сектор поперечно в нулевой точке и находим точку на внешней шкале, где расстояние поперечно , мы устанавливаем пару подобных треугольников, которые разделяют угол, сделанный руками сектора на стержне, так что если мы устанавливаем расстояние от точки стержня на внутренней шкале до , с , и определено как раньше, то расстояние поперечно измеренное на внутренней шкале будет длиной стороны квадрата с площадью, равной площади сегмента.

Другие применения

Сектор поставлялся с свинцовым бобом и отсоединяемым квадрантом, который, когда он был на месте, закреплял руки на 90 ° друг от друга. Сектор может быть использован для наблюдения и измерения расстояния с помощью триангуляции, с применением в геодезии и баллистике. Сектор также можно было использовать для легкого определения высоты пушки путем вставки одной руки в ствол и считывания высоты с места свинцового боба.