Доказана слабая гипотеза Гольдбаха о простых числах

Введение

Решенная гипотеза о простых числах

В теории чисел слабая гипотеза Гольдбаха, также известная как нечетная гипотеза Гольдбаха, тройная проблема Гольдбаха или проблема трех простых чисел, утверждает, что

Каждое нечетное число, большее 5, может быть представлено в виде суммы трех простых чисел. (Одно и то же простое число может использоваться несколько раз в одной и той же сумме.) Эта гипотеза называется "слабой", поскольку если будет доказана сильная гипотеза Гольдбаха (касающаяся сумм двух простых чисел), то и эта гипотеза также будет верна. Ведь если каждое четное число, большее 4, является суммой двух нечетных простых чисел, то добавление 3 к каждому четному числу, большему 4, даст нечетные числа, большие 7 (а само число 7 равно 2+2+3). В 2013 году Харальд Хельфгот опубликовал доказательство слабой гипотезы Гольдбаха, но оно еще не было опубликовано в рецензируемом журнале. Доказательство было принято к публикации в серии "Анналы математических исследований" в 2015 году и с тех пор проходит дальнейшую проверку и доработку; главы, прошедшие полную рецензию и находящиеся на завершающей стадии, публикуются в процессе. Некоторые формулируют гипотезу следующим образом:
Каждое нечетное число, большее 7, может быть представлено в виде суммы трех нечетных простых чисел. Эта формулировка исключает 7 = 2+2+3, поскольку для этого требуется четное простое число 2. Для нечетных чисел, больших 7, она немного строже, поскольку также исключает суммы, такие как 17 = 2+2+13, которые допустимы в другой формулировке. Доказательство Хельфготта охватывает обе версии гипотезы. Как и другая формулировка, эта также непосредственно следует из сильной гипотезы Гольдбаха.

Происхождение

Предположение возникло в переписке между Кристианом Гольдбахом и Леонардом Эйлером. Одной из формулировок сильной гипотезы Гольдбаха, эквивалентной более распространенной формулировке в терминах сумм двух простых чисел, является утверждение, что любое целое число, большее 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел. Слабая гипотеза – это ограничение этого утверждения случаем нечетных чисел (и, возможно, с дополнительным требованием, чтобы все три простых числа в сумме были нечетными).

Временная линия результатов

В 1923 году Харди и Литтлвуд показали, что, исходя из обобщенной гипотезы Римана, слабая гипотеза Гольдбаха верна для всех достаточно больших нечетных чисел. В 1937 году Иван Матвеевич Виноградов устранил зависимость от обобщенной гипотезы Римана и доказал напрямую (см. теорему Виноградова), что все достаточно большие нечетные числа могут быть выражены как сумма трех простых чисел. Оригинальное доказательство Виноградова, использующее неэффективную теорему Зигеля-Вальфиша, не дало границы для "достаточно большого"; его ученик К. Бороздкин (1956) вывел, что достаточно велико. Целая часть этого числа содержит 4 008 660 десятичных цифр, поэтому проверка каждого числа меньше этого значения была бы совершенно невозможна. В 1997 году Дешуйлерс, Эффингер, те Риле и Зиновьев опубликовали результат, показывающий, что обобщенная гипотеза Римана влечет за собой слабую гипотезу Гольдбаха для всех чисел. Этот результат объединяет общее утверждение, справедливое для чисел, больших 1020, с обширным компьютерным поиском по малым случаям. Саутер также провел компьютерный поиск, охватывающий те же случаи примерно в то же время. Оливье Рамаре в 1995 году показал, что каждое четное число n ≥ 4 на самом деле является суммой не более шести простых чисел, из чего следует, что каждое нечетное число n ≥ 5 является суммой не более семи простых чисел. Лезек Каниецкий показал, что каждое нечетное целое число является суммой не более пяти простых чисел при условии верности гипотезы Римана. В 2012 году Теренс Тао доказал это без использования гипотезы Римана, что улучшает оба результата. В 2002 году Лю Мин Чит (Университет Гонконга) и Ван Тянь Цзе понизили порог Бороздкина примерно до . Показатель степени все еще слишком велик, чтобы допустить проверку всех меньших чисел с помощью компьютера. (Компьютерные поиски достигли только 1018 для сильной гипотезы Гольдбаха и не намного дальше для слабой гипотезы Гольдбаха.) В 2012 и 2013 годах перуанский математик Харальд Хельфготт опубликовал две статьи, улучшающие оценки основных и минорных дуг настолько, чтобы безусловно доказать слабую гипотезу Гольдбаха. Здесь основные дуги – это объединение интервалов вокруг рациональных чисел , где – константа. Минорные дуги определяются как .

In 1923, Hardy and Littlewood showed that, assuming the generalized Riemann hypothesis, the weak Goldbach conjecture is true for all sufficiently large odd numbers. In 1937, Ivan Matveevich Vinogradov eliminated the dependency on the generalised Riemann hypothesis and proved directly (see Vinogradov's theorem) that all sufficiently large odd numbers can be expressed as the sum of three primes. Vinogradov's original proof, as it used the ineffective Siegel–Walfisz theorem, did not give a bound for "sufficiently large"; his student K. Borozdkin (1956) derived that is large enough. The integer part of this number has 4,008,660 decimal digits, so checking every number under this figure would be completely infeasible. In 1997, Deshouillers, Effinger, te Riele and Zinoviev published a result showing that the generalized Riemann hypothesis implies Goldbach's weak conjecture for all numbers. This result combines a general statement valid for numbers greater than 1020 with an extensive computer search of the small cases. Saouter also conducted a computer search covering the same cases at approximately the same time. Olivier Ramaré in 1995 showed that every even number n ≥ 4 is in fact the sum of at most six primes, from which it follows that every odd number n ≥ 5 is the sum of at most seven primes. Leszek Kaniecki showed every odd integer is a sum of at most five primes, under the Riemann Hypothesis. In 2012, Terence Tao proved this without the Riemann Hypothesis; this improves both results. In 2002, Liu Ming Chit (University of Hong Kong) and Wang Tian Ze lowered Borozdkin's threshold to approximately The exponent is still much too large to admit checking all smaller numbers by computer. (Computer searches have only reached as far as 1018 for the strong Goldbach conjecture, and not much further than that for the weak Goldbach conjecture.) In 2012 and 2013, Peruvian mathematician Harald Helfgott released a pair of papers improving major and minor arc estimates sufficiently to unconditionally prove the weak Goldbach conjecture. Here, the major arcs is the union of intervals around the rationals where is a constant. Minor arcs are defined to be .